[04] (1,0) Resolva o problema de valor inicial
l d yd x=(x-y)^2 y0=x-1 y(0)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
dydx = (x - y)^2, y(0)=1
e nos foi dado como chute inicial para o método de Picard a função
y0(x)=x-1
O conteúdo é o método de sucessivas aproximações (Picard– Lindelöf), que transforma a EDO numa integral e itera.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma de equação integral. Como y(0)=1,
y(x) ;=; 1 ;+;integral0^x(t - y(t))^2,dt
A iteração de Picard é então
yn+1(x) ;=; 1 ;+;integral0^xl(t - yn(t)r)^2,dt

Passo 3

Calculemos a primeira aproximação y1 a partir de y0(t)=t-1:
t - y0(t) = t - (t-1) = 1,
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y1(x) = 1 + integral0^x1^2,dt = 1 + integral0^x1,dt = 1 + x

Passo 4

Agora, usando y1(t)=t+1, temos
t - y1(t) = t - (t+1) = -1,
e portanto
y2(x) = 1 + integral0^x(-1)^2,dt = 1 + integral0^x1,dt = 1 + x
Ou seja, a partir de n=1 a sequência estaciona em
,yn(x)=x+1.

Passo 5

Pelo Teorema de Picard– Lindelöf, a sequência convergente a um único limite garante que a solução do IVP é
y(x)=x+1

Resposta

y(x) = x + 1

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