Calcule
\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^{3}(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^{3}(4x)\,dx.
Informações úteis dadas:
  • O integrando é \operatorname{tg}^{3}(4x), ou seja \big(\operatorname{tg}(4x)\big)^3.
  • Os limites de integração são x=\dfrac{\pi}{16} (inferior) e x=\dfrac{\pi}{12} (superior).
    A partir daqui vamos reescrever o integrando de forma que possamos integrar facilmente e depois avaliar entre os limites.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (que vou usar): para qualquer argumento u,
\operatorname{tg}^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u-1,
onde \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u}. Vou aplicar essa identidade com u=4x para reduzir a potência ímpar de \operatorname{tg}.

Passo 3

Reescrevendo o integrando usando a identidade:
\operatorname{tg}^{3}(4x)=\operatorname{tg}(4x)\cdot\operatorname{tg}^{2}(4x) =\operatorname{tg}(4x)\big(\operatorname{sec}^{2}(4x)-1\big).
Logo a integral separa-se em duas:
\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^{3}(4x)\,dx =\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}(4x)\operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx -\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}(4x)\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral
I_1=\int \operatorname{tg}(4x)\operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx.
Faço a substituição u=\operatorname{tg}(4x). Então
du=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}(4x)\big)\,dx=4\operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx,
ou seja \operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx=\dfrac{du}{4}. Substituindo,
I_1=\int u\cdot\frac{du}{4}=\frac{1}{4}\int u\,du=\frac{1}{4}\cdot\frac{u^{2}}{2}=\frac{1}{8}u^{2}.
Voltando a x,
I_1=\frac{1}{8}\operatorname{tg}^{2}(4x).

Passo 5

Calcular a segunda integral
I_2=\int \operatorname{tg}(4x)\,dx.
Usa-se a fórmula básica \displaystyle \int \operatorname{tg}v\,dv=-\ln|\cos v|+C.
Com v=4x tem-se dv=4\,dx ou dx=\dfrac{dv}{4}. Logo
I_2=\int \operatorname{tg}v\cdot\frac{dv}{4}=\frac{1}{4}\int \operatorname{tg}v\,dv =\frac{1}{4}\big(-\ln|\cos v|\big)+C =-\frac{1}{4}\ln|\cos(4x)|+C.

Passo 6

Montando a primitiva da combinação (veja passo 3):
\int \operatorname{tg}^{3}(4x)\,dx =I_1-I_2 =\frac{1}{8}\operatorname{tg}^{2}(4x)-\Big(-\frac{1}{4}\ln|\cos(4x)|\Big) =\frac{1}{8}\operatorname{tg}^{2}(4x)+\frac{1}{4}\ln|\cos(4x)|+C.
Portanto uma antiderivada é
F(x)=\frac{1}{8}\operatorname{tg}^{2}(4x)+\frac{1}{4}\ln|\cos(4x)|.

Passo 7

Avaliar F entre os limites x=\dfrac{\pi}{16} e x=\dfrac{\pi}{12}.
Primeiro calcular os argumentos 4x:
4\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{4},\qquad 4\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}.
Valores trigonométricos conhecidos:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Agora calcular F nos pontos:
F\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1}{8}\operatorname{tg}^{2}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) +\frac{1}{4}\ln\left|\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\right| =\frac{1}{8}\cdot 3+\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
F\!\left(\frac{\pi}{16}\right)=\frac{1}{8}\operatorname{tg}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) +\frac{1}{4}\ln\left|\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| =\frac{1}{8}\cdot 1+\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 8

Subtrair F\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)-F\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right):
\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^{3}(4x)\,dx &=\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\ln\frac{1}{2}\right) -\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\ln\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\[6pt] &=\frac{2}{8}+\frac{1}{4}\ln\!\Big(\frac{1/2}{\sqrt{2}/2}\Big)\\[6pt] &=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ln\!\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big). \end{aligned}
Simplificando o logaritmo:
\ln\!\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=\ln\!\big(2^{-1/2}\big)=-\frac{1}{2}\ln 2.
Assim
\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{12}} \operatorname{tg}^{3}(4x)\,dx =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\ln 2\right) =\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\ln 2.]

Resposta

\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\ln 2

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