03: Calcule a integral
integral csc ^4(x) cotg^6(x) d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral csc^4(x),cot^6(x),dx
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar a substituição baseada em
ddxcot(x)=-csc^2(x)

Passo 2

Reescrevemos o integrando de modo a isolar um fator csc^2(x),dx:
csc^4(x),cot^6(x) = l(csc^2(x),cot^6(x)r)timescsc^2(x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cot(x), du = -csc^2(x),dx Longrightarrow csc^2(x),dx = -,du
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integral csc^4(x),cot^6(x),dx = integral l(csc^2(x),cot^6(x)r),csc^2(x),dx = -integral csc^2(x),u^6,du

Passo 4

Usamos a identidade csc^2(x)=1+cot^2(x), isto é, csc^2(x)=1+u^2. Assim
- integral csc^2(x),u^6,du = -integral (1+u^2),u^6,du = -integral (u^6+u^8),du

Passo 5

Integramos termo a termo em u:
- integral (u^6+u^8),du = -l(u^77 + u^99r) + C

Passo 6

Retornando à variável x (onde u=cot(x)), obtemos
-cot^7(x)7 ;-;cot^9(x)9 + C

Resposta

-cot^7(x)7 ;-;cot^9(x)9 + C

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