Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d Td t=k(T-Tm), T(0)=T0 ; k, Tm e T0 constantes

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dTdt=kl(T-Tmr), T(0)=T0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem (autônoma). Vamos usar uma mudança de variável para simplificar e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Defina a variável auxiliar
u(t)=T(t)-Tm
Então
dudt=dTdt
pois Tm é constante. Substituindo na equação original,
dudt=k,u
Isso mostra que a EDO é agora separável e homógenea em u.

Passo 3

Separe variáveis e integre:
1u,dudt=k Longrightarrow integral1u,du=integral k,dt Longrightarrow ln|u|=kt+C1
Exponenciando,
|u|=e^kt+C1=C,e^kt,
onde C=e^C1 (constante arbitrária, podendo absorver o sinal de u).

Passo 4

Volte à variável T e use T(0)=T0. Temos
u(0)=T0-Tm=C,e^kcdot0=C,
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C=T0-Tm
Então
u(t)=(T0-Tm),e^kt

Passo 5

Revertendo u(t)=T(t)-Tm, obtemos a solução geral do problema de valor inicial:
T(t)=Tm+(T0-Tm),e^kt
Como as exponenciais estão definidas para todo tinR, o maior intervalo de existência da solução é
(-infty,infty)

Resposta

T(t)=Tm+(T0-Tm),e^kt, tin(-infty,infty)

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