Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
e
constantes
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem (autônoma). Vamos usar uma mudança de variável para simplificar e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Defina a variável auxiliar
Então
pois
é constante. Substituindo na equação original,
Isso mostra que a EDO é agora separável e homógenea em
.
Passo 3
Separe variáveis e integre:
Exponenciando,
onde
(constante arbitrária, podendo absorver o sinal de
).
Passo 4
Volte à variável
e use
. Temos
logo
Então
Passo 5
Revertendo
, obtemos a solução geral do problema de valor inicial:
Como as exponenciais estão definidas para todo
, o maior intervalo de existência da solução é