Exercício 1. Nos itens abaixo, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, para encontrar uma segunda solução y2(x).
h) 6 y^prime prime+y^prime-y=0 ; y1=e^x / 3

Passo 1

O enunciado pede, usando redução de ordem, uma segunda solução y2(x) da equação diferencial linear homogênea
6y'' + y' - y = 0
sabendo que já temos uma solução conhecida y1(x)=e^x/3. O conteúdo aqui é redução de ordem para EDOs de segunda ordem com uma solução já conhecida.

Passo 2

Assumimos
y2(x)=v(x),y1(x)=v(x)e^x/3
e calculamos as derivadas:
y2'=v',e^x/3+v13e^x/3, y2''=v'',e^x/3+2v'13e^x/3+v19e^x/3
Substituindo na EDO e usando o fato de que y1 já satisfaz 6y1''+y1'-y1=0, eliminamos os termos em v e obtemos uma equação só em v' e v''.

Passo 3

Definindo w=v', a equação reduz-se a
6e^x/3w' + l(12cdottfrac13e^x/3 + e^x/3r)w = 0 ;,Longrightarrow;, w' + 56,w = 0

Passo 4

Resolvendo a equação de primeira ordem w' + tfrac56w=0 temos
w(x) = C,e^-5x/6
Tomando C=1 para achar uma v particular,
v(x)=integral w(x),dx = integral e^-5x/6,dx = -65e^-5x/6

Passo 5

Logo
y2(x)=v(x),e^x/3 =-65e^-5x/6e^x/3 propto e^-5x/6 +2x/6 = e^-x/2
Descartamos constantes não nulas, ficando
y2(x)=e^-x/2

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
y2(x)=e^-x/2

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