Exercício 1. Nos itens abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, para encontrar uma segunda solução
.
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede, usando redução de ordem, uma segunda solução
da equação diferencial linear homogênea
sabendo que já temos uma solução conhecida
. O conteúdo aqui é redução de ordem para EDOs de segunda ordem com uma solução já conhecida.
Passo 2
Assumimos
e calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO e usando o fato de que
já satisfaz
, eliminamos os termos em
e obtemos uma equação só em
e
.
Passo 3
Definindo
, a equação reduz-se a
Passo 4
Resolvendo a equação de primeira ordem
temos
Tomando
para achar uma
particular,
Passo 5
Logo
Descartamos constantes não nulas, ficando
Resposta
A segunda solução linearmente independente é