Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3}{x+2},

Passo 1

O enunciado dá o seguinte limite:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+3}{x+2}.
O que é pedido: calcular esse limite ou explicar por que ele não existe.
Informações explícitas fornecidas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}+3 (grau 2, coeficiente líder 1).
  • O denominador é o polinômio x+2 (grau 1, coeficiente líder 1).
  • A variável x tende para +\infty.

Passo 2

Uma técnica simples é dividir numerador e denominador por x (uma potência de x conveniente); isso ajuda a ver o comportamento quando x cresce muito. Dividindo tudo por x obtemos:
\frac{x^{2}+3}{x+2}=\frac{x+\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}.
Agora analiso os termos menores quando x\to\infty. Para os termos com x no denominador vale:
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0.
Portanto o numerador da forma transformada é x+o(1) (isto é, x mais algo que vai para zero) e o denominador é 1+o(1).

Passo 3

Para tornar a conclusão rigorosa, faço uma desigualdade para x suficientemente grande (por exemplo, x\ge 1). Para tais x temos:
x+\frac{3}{x}\ge x, \qquad 1+\frac{2}{x}\le 1+2=3,
portanto
\frac{x^{2}+3}{x+2}=\frac{x+\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}\ge \frac{x}{3}\quad\text{para todo }x\ge 1.
A sequência (função) \dfrac{x}{3} cresce sem limite quando x\to\infty. Como \dfrac{x^{2}+3}{x+2} é maior ou igual a \dfrac{x}{3} para x\ge 1, a expressão original também cresce sem limite superior quando x\to\infty. Em linguagem de limites: a expressão diverge para o infinito positivo (não converge para um número real).
Comentário didático rápido (regra geral, útil na prova): para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P e Q polinômios, se o grau de P for maior que o grau de Q então o limite quando x\to\infty é infinito em módulo; o sinal (+\ ou -) depende dos coeficientes líderes e do sinal de x. Aqui o grau do numerador é 2 e do denominador é 1, então o quociente se comporta como uma constante vezes x^{2-1}=x quando x cresce, o que confirma a divergência para +\infty (já que os coeficientes líderes são positivos).

Resposta

+\infty

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