Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado dá o seguinte limite:
O que é pedido: calcular esse limite ou explicar por que ele não existe.
Informações explícitas fornecidas:
Informações explícitas fornecidas:
- O numerador é o polinômio
(grau , coeficiente líder ). - O denominador é o polinômio
(grau , coeficiente líder ). - A variável
tende para .
Passo 2
Uma técnica simples é dividir numerador e denominador por
(uma potência de
conveniente); isso ajuda a ver o comportamento quando
cresce muito. Dividindo tudo por
obtemos:
Agora analiso os termos menores quando
. Para os termos com
no denominador vale:
Portanto o numerador da forma transformada é
(isto é,
mais algo que vai para zero) e o denominador é
.
Passo 3
Para tornar a conclusão rigorosa, faço uma desigualdade para
suficientemente grande (por exemplo,
). Para tais
temos:
portanto
A sequência (função)
cresce sem limite quando
. Como
é maior ou igual a
para
, a expressão original também cresce sem limite superior quando
. Em linguagem de limites: a expressão diverge para o infinito positivo (não converge para um número real).
Comentário didático rápido (regra geral, útil na prova): para uma função racional com
e
polinômios, se o grau de
for maior que o grau de
então o limite quando
é infinito em módulo; o sinal (+\ ou
) depende dos coeficientes líderes e do sinal de
. Aqui o grau do numerador é
e do denominador é
, então o quociente se comporta como uma constante vezes
quando
cresce, o que confirma a divergência para
(já que os coeficientes líderes são positivos).
Comentário didático rápido (regra geral, útil na prova): para uma função racional