[03] (1,5) Calcule a transformada inversa de Laplace.
(i) F(s)=s+3s^4+s^3-6 s^2-4 s+8

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s+3s^4+s^3-6s^2-4s+8
O que vamos usar: fatoração do polinômio do denominador, decomposição em frações parciais, e as fórmulas
L^-1ltfrac1s-ar=e^at e
L^-1ltfrac1(s-a)^2r=t,e^at.

Passo 2

Primeiro, fatoramos
s^4+s^3-6s^2-4s+8
Testando raízes inteiras, vemos que s=1 e s=2 são raízes simples, e ao dividir sucessivamente obtemos
s^4+s^3-6s^2-4s+8=(s-1),(s-2),(s+2)^2

Passo 3

Escrevemos a decomposição
s+3(s-1)(s-2)(s+2)^2 =As-1+Bs-2+Cs+2+D(s+2)^2
Pelos métodos de “cover-up” para polos simples:
A=limsto1s+3(s-2)(s+2)^2 =1+3(-1),3^2=-49,
B=limsto2s+3(s-1)(s+2)^2 =2+31cdot4^2=516

Passo 4

Para o polo duplo em s=-2, primeiro
D=limsto-2(s+2)^2,s+3(s-1)(s-2)(s+2)^2 =-2+3(-3)(-4)=112
Em seguida, definimos
g(s)= (s+2)^2F(s) =s+3(s-1)(s-2),
e usamos
C=lddsg(s)r|s=-2
Calculando
g'(s) =(s-1)(s-2)-(s+3)l[(s-1)+(s-2)r](s-1)^2(s-2)^2,
temos em s=-2:
C=12-(-7)144=19144

Passo 5

Agora escrevemos cada termo na forma cuja inversa Laplace é conhecida:
As-1to A,e^t, Bs-2to B,e^2t, Cs+2to C,e^-2t, D(s+2)^2to D,t,e^-2t
Substituindo A=-tfrac49, B=tfrac516, C=tfrac19144, D=tfrac112, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

f(t)= -49,e^t +516,e^2t +19144,e^-2t +112,t,e^-2t

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