[04] Considere a equação diferencial de segunda ordem
a)
Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b)
Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas
utilizando: Equação característica - coeficientes à determinar.
c)
Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas utilizando: Transformada de Laplace.
b)
utilizando: Equação característica - coeficientes à determinar.
c)
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
,
. Vamos:
- achar a solução geral da homogênea associada usando a equação característica;
- encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados e ajustar às condições iniciais;
- resolver de novo via transformada de Laplace para confirmar o resultado.
Passo 2
Para a homogênea associada
montamos a equação característica
cuja solução é
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Buscamos uma solução particular do tipo
Calculando derivadas:
Substituindo em
:
Assim
e
Passo 4
A solução geral é
Impondo
dá
.
Derivando
Derivando
logo
implica
. Portanto
Passo 5
Pela transformada de Laplace definimos
. Como
,
a EDO vira
Fazendo frações parciais
temos
de onde
,
. Assim
,
e
Invertendo a transformada,
que coincide com o método de coeficientes indeterminados.
Resposta
a)
b)
c) Pela Laplace obtém-se o mesmo resultado
.
b)
c) Pela Laplace obtém-se o mesmo resultado