[04] Considere a equação diferencial de segunda ordem
x^prime prime+25 x=20 sen(t) x(0)=0, x^prime(0)=0
a) (0,5) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (1,0) Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas
utilizando: Equação característica - coeficientes à determinar.
c) (1,0) Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas utilizando: Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' + 25,x = 20sin(t)
com condições iniciais x(0)=0, x'(0)=0. Vamos:
  1. achar a solução geral da homogênea associada usando a equação característica;
  2. encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados e ajustar às condições iniciais;
  3. resolver de novo via transformada de Laplace para confirmar o resultado.

Passo 2

Para a homogênea associada
x'' + 25,x = 0
montamos a equação característica
r^2 + 25 = 0
cuja solução é r = pm 5i. Logo a solução geral da homogênea é
xh(t) = C1cos(5t) + C2sin(5t)

Passo 3

Buscamos uma solução particular do tipo
xp(t) = Asin(t) + Bcos(t)
Calculando derivadas:
xp' = Acos(t) - Bsin(t), xp'' = -Asin(t) - Bcos(t)
Substituindo em x''+25x=20sin t:
(-Asin t - Bcos t) + 25(Asin t + Bcos t) =24Asin t + 24Bcos t stackrel!=20sin t
Assim
24A = 20 implies A = tfrac56, 24B = 0 implies B = 0,
e
xp(t) = tfrac56sin(t)

Passo 4

A solução geral é
x(t) = C1cos(5t) + C2sin(5t) + tfrac56sin(t)
Impondo x(0)=0 C1=0.
Derivando
x'(t) = -5C1sin(5t) + 5C2cos(5t) + tfrac56cos(t),
logo x'(0)=5C2 + tfrac56=0 implica C2=-tfrac16. Portanto
x(t) = -tfrac16sin(5t) + tfrac56sin(t)

Passo 5

Pela transformada de Laplace definimos X(s)= Lx(t). Como x(0)=x'(0)=0,
Lx''=s^2X(s), Lsin t=1s^2+1,
a EDO vira
s^2X(s) + 25X(s) = 20s^2+1 ;Longrightarrow; X(s) = 20(s^2+25)(s^2+1)
Fazendo frações parciais
X(s) = As^2+1 + Bs^2+25,
temos
20 = A(s^2+25) + B(s^2+1) = (A+B)s^2 + (25A+B),
de onde A+B=0, 25A+B=20. Assim A=5/6, B=-5/6 e
X(s) = 5/6s^2+1 - 5/6s^2+25
Invertendo a transformada,
x(t) = tfrac56sin(t) - tfrac56,15sin(5t) = -tfrac16sin(5t) + tfrac56sin(t),
que coincide com o método de coeficientes indeterminados.

Resposta

a) xh(t) = C1cos(5t) + C2sin(5t)
b) x(t) = -tfrac16sin(5t) + tfrac56sin(t)
c) Pela Laplace obtém-se o mesmo resultado
x(t) = -tfrac16sin(5t) + tfrac56sin(t).

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