03 - Determinar a vazão transportada por um conduto de ferro fundido, com diâmetro de 150 mm e comprimento de 1 km , sabendo que o mesmo transporta gasolina à temperatura de
, com perda de carga unitária de
.
Dados:
e
.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do conduto e do fluido (pegos do enunciado):
- Diâmetro:
. - Comprimento:
. - Perda de carga unitária:
. Para o trecho de isso significa perda de carga total . A inclinação hidráulica (perda por unidade de comprimento) é - Rugosidade absoluta:
. - Viscosidade cinemática:
.
- Diâmetro:
-
O que o problema pede:
- Determinar a vazão volumétrica
transportada pelo conduto (dê em ; pode-se também apresentar em ou para interpretação).
- Determinar a vazão volumétrica
Passo 2
Princípio físico e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
-
Para escoamento em conduto circular com perda por atrito podemos usar a equação de Darcy–Weisbach:onde
-
é a perda de carga total (m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento do trecho (m), -
é o diâmetro interno do tubo (m), -
é a velocidade média do fluido (m/s), -
é a aceleração da gravidade.
-
-
A vazão volumétrica
relaciona-se com por -
O fator
depende da rugosidade relativa e do número de Reynolds . O número de Reynolds é ondeé a viscosidade cinemática. -
A equação de Colebrook dá
implicitamente. Para evitar resolver uma equação implícita vamos usar a aproximação explícita de Swamee–Jain (muito usada e bem precisa para engenharia): Esta fórmula dáa partir de e . Note que contém , e depende de (pela Darcy–Weisbach). Assim usaremos um procedimento iterativo simples: chutar um , calcular , calcular , atualizar com Swamee–Jain e repetir até convergir.
Passo 3
Preparar as expressões úteis e valores numéricos iniciais.
-
Isolar
da equação de Darcy–Weisbach usando : Isto é prático porque nos dápara um dado . -
Área da seção:Vamos calcular
numericamente: (valor aproximado:). -
Rugosidade relativa:
-
Vamos iterar. Escolha inicial (palpitação comum):
.
Passo 4
Primeira iteração (com
) — calcular
,
e atualizar
.
- Calcular
: Avaliando numericamente:
-
Calcular
: -
Atualizar
usando Swamee–Jain: Calcular os termos:
Soma dentro do log:
Então
Passo 5
Segunda iteração (usar
) — calcular
,
e novo
.
-
Calcular
: -
Calcular
: -
Atualizar
com Swamee–Jain:
- Comparar
com : versus . A diferença é muito pequena (convergência alcançada). Podemos aceitar e .
Passo 6
Calcular a vazão
final e fazer checagem rápida.
- Vazão:
Em unidades mais familiares:
-
Checagem rápida usando Darcy–Weisbach (verificar que com
e encontrados a perda total dá cerca de ): que está muito próximo de: bom sinal de consistência. -
Observação física: o número de Reynolds final está na ordem de
(escoamento turbulento), o que justifica o uso da fórmula de Swamee–Jain / Colebrook.