02 - Dois reservatórios estão interligados por uma tubulação de ferro fundido com diâmetro de 200 mm e extensão total de 1100 m . Determine a vazão e a velocidade deste escoamento, sabendo que a diferença de nível entre os reservatórios é de 10 m .
Dados: \mathrm{e}=3,75 \times 10^{-4} m e \underline{v}=1,007 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
Diâmetro da tubulação: D=0{,}200\\ \mathrm{m}.
Comprimento da tubulação: L=1100\\ \mathrm{m}.
Diferença de nível entre reservatórios: \Delta z=10\\ \mathrm{m}.
Rugosidade absoluta do ferro fundido: e=3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Viscosidade cinemática do fluido: \nu=1{,}007\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Aceleração da gravidade (valor padrão que usarei): g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
O que o enunciado pede:
Determinar a vazão volumétrica Q do escoamento.
Determinar a velocidade média V do escoamento na tubulação.
Observações importantes (dados que usarei nas contas):
A seção da tubulação é circular; vou usar A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
Para escoamento entre dois reservatórios grandes a diferença de energia entre superfícies livres é convertida em perdas por atrito na tubulação; portanto vou igualar a perda de carga total por atrito h_f à diferença de nível \Delta z (assumindo velocidades nas superfícies dos reservatórios desprezíveis e sem perdas localizadas relevantes).
Passo 2
Apresentar as fórmulas fundamentais que vamos usar e explicar o significado de cada termo.
Equilíbrio de energia simplificado (entre as superfícies livres, assumindo perda por atrito como única perda):
\Delta z = h_f.
Aqui \Delta z é a diferença de nível entre as superfícies livres (m) e h_f é a perda de carga por atrito (m).
Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
L e D são comprimento e diâmetro da tubulação (m),
V é a velocidade média no tubo (m/s),
g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
Relação entre vazão e velocidade média:
Q = A\,V, \qquad A=\frac{\pi D^2}{4},
onde Q é a vazão volumétrica (m^3/s) e A a área da seção transversal (m^2).
O fator de atrito f para escoamento turbulento em conduto rugoso é dado implicitamente pela equação de Colebrook; para resolver numericamente de forma direta usamos a fórmula aproximada de Swamee–Jain (expliquei por quê abaixo):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{e}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},
onde
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}
é o número de Reynolds, que indica o regime do escoamento (laminar se \mathrm{Re}<2000, transição entre 2000 e 4000, turbulento acima de 4000).
Por que uso Swamee–Jain em vez da Colebrook explícita? A equação de Colebrook é implícita em f e exige iteração; Swamee–Jain é uma fórmula explícita e bastante precisa para escoamento totalmente turbulento (e é prática para resolver rapidamente numa prova sem necessidade de resolução numérica pesada). Ainda assim verificarei consistência do regime com o Reynolds calculado.
Passo 3
Calcular a área da seção transversal e a razão L/D (valores numéricos diretos).
Montar a equação que determina V a partir de \Delta z e do fator f, e isolar V.
Da igualdade \Delta z = h_f e da fórmula de Darcy–Weisbach:
\Delta z = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Isolando V:
V = \sqrt{\frac{2g\,\Delta z}{f\,\dfrac{L}{D}}}.
Repare que f depende de V via \mathrm{Re}, então teremos que proceder por iteração (ou usar Swamee–Jain para calcular f a partir de um \mathrm{Re} estimado e repetir até convergência). Vou fazer iterações simples que são fáceis de reproduzir numa prova.
Passo 5
Primeira estimativa: suponho um valor inicial para f. Um palpite comum é f_0=0{,}02. Com isso calculo V_0 e o respectivo \mathrm{Re}_0.
Calcule \mathrm{Re}_0^{0{,}9}. Com \mathrm{Re}_0\approx2{,}6516\times10^{5} obtém-se \mathrm{Re}_0^{0{,}9}\approx7{,}5379\times10^{4} (pode-se calcular como \exp(0{,}9\ln\mathrm{Re}_0)). Então