02 - Dois reservatórios estão interligados por uma tubulação de ferro fundido com diâmetro de 200 mm e extensão total de 1100 m . Determine a vazão e a velocidade deste escoamento, sabendo que a diferença de nível entre os reservatórios é de 10 m .
Dados: \mathrm{e}=3,75 \times 10^{-4} m e \underline{v}=1,007 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro da tubulação: D=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=1100\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de nível entre reservatórios: \Delta z=10\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta do ferro fundido: e=3{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Viscosidade cinemática do fluido: \nu=1{,}007\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade (valor padrão que usarei): g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a vazão volumétrica Q do escoamento.
  • Determinar a velocidade média V do escoamento na tubulação.
Observações importantes (dados que usarei nas contas):
  • A seção da tubulação é circular; vou usar A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Para escoamento entre dois reservatórios grandes a diferença de energia entre superfícies livres é convertida em perdas por atrito na tubulação; portanto vou igualar a perda de carga total por atrito h_f à diferença de nível \Delta z (assumindo velocidades nas superfícies dos reservatórios desprezíveis e sem perdas localizadas relevantes).

Passo 2

Apresentar as fórmulas fundamentais que vamos usar e explicar o significado de cada termo.
  1. Equilíbrio de energia simplificado (entre as superfícies livres, assumindo perda por atrito como única perda):
\Delta z = h_f.
Aqui \Delta z é a diferença de nível entre as superfícies livres (m) e h_f é a perda de carga por atrito (m).
  1. Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L e D são comprimento e diâmetro da tubulação (m),
  • V é a velocidade média no tubo (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  1. Relação entre vazão e velocidade média:
Q = A\,V, \qquad A=\frac{\pi D^2}{4},
onde Q é a vazão volumétrica (m^3/s) e A a área da seção transversal (m^2).
  1. O fator de atrito f para escoamento turbulento em conduto rugoso é dado implicitamente pela equação de Colebrook; para resolver numericamente de forma direta usamos a fórmula aproximada de Swamee–Jain (expliquei por quê abaixo):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{e}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},
onde
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}
é o número de Reynolds, que indica o regime do escoamento (laminar se \mathrm{Re}<2000, transição entre 2000 e 4000, turbulento acima de 4000).
Por que uso Swamee–Jain em vez da Colebrook explícita? A equação de Colebrook é implícita em f e exige iteração; Swamee–Jain é uma fórmula explícita e bastante precisa para escoamento totalmente turbulento (e é prática para resolver rapidamente numa prova sem necessidade de resolução numérica pesada). Ainda assim verificarei consistência do regime com o Reynolds calculado.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal e a razão L/D (valores numéricos diretos).
Área:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}200)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}01=0{,}0314159\\ \mathrm{m}^2.
Relação comprimento/diâmetro:
\frac{L}{D}=\frac{1100}{0{,}200}=5500.
Vou usar estes valores nas contas seguintes.

Passo 4

Montar a equação que determina V a partir de \Delta z e do fator f, e isolar V.
Da igualdade \Delta z = h_f e da fórmula de Darcy–Weisbach:
\Delta z = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Isolando V:
V = \sqrt{\frac{2g\,\Delta z}{f\,\dfrac{L}{D}}}.
Repare que f depende de V via \mathrm{Re}, então teremos que proceder por iteração (ou usar Swamee–Jain para calcular f a partir de um \mathrm{Re} estimado e repetir até convergência). Vou fazer iterações simples que são fáceis de reproduzir numa prova.

Passo 5

Primeira estimativa: suponho um valor inicial para f. Um palpite comum é f_0=0{,}02. Com isso calculo V_0 e o respectivo \mathrm{Re}_0.
Com f_0=0{,}02:
V_0=\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\cdot 10}{0{,}02\cdot 5500}} =\sqrt{\frac{196{,}2}{110}}=\sqrt{1{,}783636} \approx 1{,}335\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds correspondente:
\mathrm{Re}_0=\frac{V_0 D}{\nu}=\frac{1{,}335\cdot 0{,}200}{1{,}007\times10^{-6}} =\frac{0{,}2670}{1{,}007\times10^{-6}}\approx 265{,}16\times10^{3}=2{,}6516\times10^{5}.
Como \mathrm{Re}_0\gg4000, o escoamento é turbulentíssimo e a fórmula de Swamee–Jain é apropriada.

Passo 6

Calcular f com a fórmula de Swamee–Jain usando \mathrm{Re}_0, e atualizar V.
Primeiro calcule os termos:
\frac{e}{3{,}7D}=\frac{3{,}75\times10^{-4}}{3{,}7\cdot 0{,}200} =\frac{3{,}75\times10^{-4}}{0{,}74}\approx 0{,}00050676.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}}
Calcule \mathrm{Re}_0^{0{,}9}. Com \mathrm{Re}_0\approx2{,}6516\times10^{5} obtém-se \mathrm{Re}_0^{0{,}9}\approx7{,}5379\times10^{4} (pode-se calcular como \exp(0{,}9\ln\mathrm{Re}_0)). Então
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{7{,}5379\times10^{4}}\approx 7{,}614\times10^{-5}.
Somando os termos dentro do logaritmo:
\frac{e}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}} \approx 0{,}00050676 + 0{,}00007614 = 0{,}00058290.
Agora aplico Swamee–Jain:
f_1=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!(0{,}00058290)\right]^2}.
Calculando \log_{10}(0{,}00058290)\approx -3{,}234, então
f_1\approx\frac{0{,}25}{(-3{,}234)^2}=\frac{0{,}25}{10{,}456}\approx 0{,}0239.
Com esse f_1 atualizo V:
V_1=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot10}{0{,}0239\cdot5500}} =\sqrt{\frac{196{,}2}{131{,}45}}\approx\sqrt{1{,}4926}\approx 1{,}221\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Iteração adicional para confirmar convergência: recalculo \mathrm{Re}_1 e f_2 e verifico se V muda pouco.
Cálculo de \mathrm{Re}_1:
\mathrm{Re}_1=\frac{V_1 D}{\nu}=\frac{1{,}221\cdot 0{,}200}{1{,}007\times10^{-6}} =\frac{0{,}2442}{1{,}007\times10^{-6}}\approx 242{,}48\times10^{3}=2{,}4248\times10^{5}.
Calculo de f_2 via Swamee–Jain com \mathrm{Re}_1:
\mathrm{Re}_1^{0{,}9}\approx 7{,}1760\times10^{4},\qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}}\approx 8{,}00\times10^{-5}.
\frac{e}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}} \approx 0{,}00050676 + 0{,}0000800 = 0{,}00058676.
f_2=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(0{,}00058676)\right]^2} \approx\frac{0{,}25}{(-3{,}231)^2}\approx 0{,}02393.
Com f_2\approx0{,}02393 recalculo V_2:
V_2=\sqrt{\frac{196{,}2}{0{,}02393\cdot5500}} \approx\sqrt{1{,}4899}\approx 1{,}2206\\ \mathrm{m/s}.
A diferença entre V_1 e V_2 é desprezível (algumas unidades na terceira casa decimal), logo alcançamos a convergência prática.

Passo 8

Calcular a vazão Q com a velocidade final e apresentar os resultados em unidades usuais.
Velocidade média final:
V\approx 1{,}221\\ \mathrm{m/s}.
Vazão volumétrica:
Q=A\,V=0{,}0314159\cdot 1{,}221 \approx 0{,}03835\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Para interpretação prática: Q\approx 0{,}03835\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=38{,}35\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

V \approx 1{,}221\\ \mathrm{m/s}
Q \approx 0{,}03835\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

Exercícios relacionados