04 - Determinar a vazão e a velocidade em uma tubulação com 2982 m de comprimento e 600 mm de diâmetro, construída com tubos de ferro fundido pichados, com 10 anos de uso, alimentada por um reservatório cujo NA situa-se 13,45 m acima da seção de descarga.

Passo 1

Dados fornecidos (pegue estes números do enunciado):
  • Comprimento da tubulação: L = 2982\\ \text{m}.
  • Diâmetro interno da tubulação: D = 600\\ \text{mm} = 0,6\\ \text{m}.
  • Material: tubos de ferro fundido “pichados”, com 10 anos de uso.
  • Nível do reservatório acima da seção de descarga: H = 13,45\\ \text{m} (altura útil disponível para vencer as perdas).
  • O que se pede:
    • Determinar a vazão volumétrica Q (em \text{m}^3/\text{s}).
    • Determinar a velocidade média V na tubulação (em \text{m}/\text{s}).
Observações que não resolvem o problema ainda:
  • Pressupõe-se escoamento permanente e que a perda de carga total entre reservatório e descarga é igual à diferença de nível H (ou seja, desprezam-se pequenas variações energéticas adicionais como diferenças de elevação do próprio escoamento além do trecho dado e perdas locais, a menos que indicado; aqui usaremos H como perda de carga por atrito no trecho).

Passo 2

Escolha do método para calcular a vazão (explicação didática e justificativa).
  • Existem várias fórmulas possíveis para perda de carga em tubulações: fórmula de Darcy–Weisbach (mais generalista, usa fator de atrito f obtido via diagrama de Moody ou equação de Colebrook) e fórmulas empíricas como Hazen–Williams (muito usada em redes de água potável por ser direta).
  • Para prova é comum usar Hazen–Williams quando a tubulação e o fluido são água e há indicação do material/idade (pois exige apenas o coeficiente empírico C). A Hazen–Williams é mais simples e evita iterações complicadas com fator f.
  • Vou usar a fórmula de Hazen–Williams. Preciso de um valor do coeficiente C característico do material e estado de conservação. Tabelas usuais indicam valores aproximados para ferro fundido novo C\approx130 e para ferro fundido envelhecido algo entre 100 e 120. Tubos “pichados” (revestidos) com 10 anos costumam manter um C razoavelmente bom.
  • Para seguir com um valor típico e conservador, assumo C = 120. (Se na sua prova houver tabela diferente, substitua o C pelo valor da tabela.)

Passo 3

Apresentação da fórmula de Hazen–Williams e explicação de cada termo.
  • A forma prática da fórmula de Hazen–Williams, em unidades SI (vazão em \text{m}^3/\text{s}, D em m, L em m e perda h_f em m), que relaciona perda de carga h_f a Q é:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}.
Explicando cada símbolo:
  • h_f: perda de carga por atrito ao longo do trecho (m). No nosso problema h_f = H = 13,45\\ \text{m}.
  • L: comprimento do trecho (m), aqui L = 2982\\ \text{m}.
  • Q: vazão volumétrica (m^3/s) — incógnita que queremos achar.
  • C: coeficiente empírico de Hazen–Williams (adimensional), depende do material e estado; assumimos C=120.
  • D: diâmetro interno (m), aqui D = 0,6\\ \text{m}.
  • A constante 10{,}67 é a forma numérica usada no SI para esta versão empírica.

Passo 4

Isolando a vazão Q da fórmula (álgebra) e explicando como resolver passo a passo.
  • Partimos de
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}.
Isolando Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = \frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}{10{,}67\,L}.
Tomando potência 1/1{,}852 em ambos os lados:
Q = \left(\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}{10{,}67\,L}\right)^{\!1/1{,}852}.
  • Agora vamos calcular cada termo numérico com cuidado (mostrando como se faz sem calculadora científica completa — na prova, usar calculadora ou logaritmos; aqui faço os passos e mostro aproximações).
Dados numéricos: h_f = 13{,}45, C=120, D=0{,}6, L=2982.
Calcule D^{4{,}87}:
  • Pode usar logaritmos: \ln(D^{4{,}87}) = 4{,}87\ln(0{,}6).
  • Valor aproximado: \ln(0{,}6)\approx -0{,}5108256. Logo 4{,}87\ln(0{,}6)\approx -2{,}4878.
  • Assim D^{4{,}87}\approx e^{-2{,}4878}\approx 0{,}0834.
    Portanto
D^{4{,}87}\approx 0{,}0834.
Calcule C^{1{,}852}:
  • \ln(C^{1{,}852}) = 1{,}852\ln(120).
  • \ln(120)\approx 4{,}78749. Então 1{,}852\cdot4{,}78749\approx 8{,}869.
  • Logo C^{1{,}852}\approx e^{8{,}869}\approx 7100 (aproximação; mais precisamente cerca de 7090 7110). Usarei C^{1{,}852}\approx 7090.
    (Em provas, pode manter mais dígitos se a calculadora der.)
Agora monte o numerador:
h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}\approx 13{,}45\times 7090 \times 0{,}0834.
  • Primeiro 7090\times 0{,}0834\approx 592{,}7.
  • Depois 13{,}45\times 592{,}7\approx 7975.
Calcule o denominador:
10{,}67\,L = 10{,}67\times 2982 \approx 31818.
Portanto a fração é aproximadamente
\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}{10{,}67\,L}\approx \frac{7975}{31818}\approx 0{,}2506.
Finalmente:
Q \approx (0{,}2506)^{1/1{,}852}.
  • Note que 1/1{,}852\approx 0{,}5399. Então Q \approx 0{,}2506^{0{,}5399}.
  • Usando logaritmos: \ln Q = 0{,}5399\ln(0{,}2506). \ln(0{,}2506)\approx -1{,}3837. Então \ln Q \approx -0{,}7474.
  • Assim Q \approx e^{-0{,}7474}\approx 0{,}4739\\ \text{m}^3/\text{s}.
Arredondando razoavelmente:
Q \approx 0{,}474\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 5

Cálculo da velocidade média V a partir de Q (fórmula e conta detalhada).
  • A velocidade média de escoamento em um tubo com área da seção transversal A é
V = \frac{Q}{A}.
  • A área A de um tubo circular de diâmetro D é
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Calcule A com D=0{,}6\\ \text{m}:
A = \frac{\pi (0{,}6)^{2}}{4} = \frac{\pi \times 0{,}36}{4} = 0{,}09\pi \approx 0{,}28274\\ \text{m}^2.
Agora calcule V:
V = \frac{Q}{A} \approx \frac{0{,}4739}{0{,}28274}\approx 1{,}676\\ \text{m}/\text{s}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida de consistência (didática e encorajamento).
  • Resultado encontrado: Q\approx 0{,}474\\ \text{m}^3/\text{s} e V\approx 1{,}676\\ \text{m}/\text{s}.
  • Velocidade da ordem de 1{,}5 2{,}0\\ \text{m}/\text{s} é comum em tubulações de água de grande diâmetro (bom sinal de plausibilidade).
  • Sensibilidade ao coeficiente C: se o tubo estivesse bem mais rugoso (por exemplo C=100), a vazão cairia; se fosse mais novo ( C=130), a vazão subiria um pouco. Em prova, se houver tabela de C, substitua e repita o mesmo processo.

Resposta

Q = 0{,}474\\ \text{m}^3/\text{s}
V = 1{,}676\\ \text{m}/\text{s}

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