01 - Em uma refinaria de petróleo, estão sendo conduzidos 200 \mathrm{l} / \mathrm{s} de óleo combustível à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o conduto é de aço soldado com 450 mm de diâmetro, calcular a perda de carga que ocorrerá ao longo do conduto, o qual possui 2200 m de extensão total. Desconsidere as perdas de carga localizadas.
Dados: \mathrm{e}=5 \times 10^{-5} \mathrm{~m} e \underline{v}=3,94 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular a perda de carga ao longo do conduto (desconsiderando perdas localizadas).
  • Dados fornecidos:
    • Vazão volumétrica Q = 200\\ \mathrm{l/s} = 0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Diâmetro do tubo D = 450\\ \mathrm{mm} = 0{,}45\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo L = 2200\\ \mathrm{m}.
    • Rugosidade absoluta do aço \varepsilon = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
    • Viscosidade cinemática \nu = 3{,}94\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Observação importante: o enunciado não fornece densidade; a expressão clássica para perda de carga comumente usada é em altura de coluna de fluido (metros) — vou calcular a perda de carga em metros ( h_f). Se for necessária a perda de pressão \Delta p em Pa, precisa da densidade \rho e usa-se \Delta p = \rho g h_f.

Passo 2

Calcular a velocidade média V no tubo (precisa da área da secção).
  • Área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}45\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi(0{,}45)^{2}}{4} = 0{,}15899\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}2}{0{,}15899}=1{,}257\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: a velocidade média é simplesmente a vazão dividida pela área. É a velocidade representativa que aparece nas fórmulas de perda de carga.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento através do número de Reynolds Re.
  • Fórmula do número de Reynolds:
Re=\frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática.
  • Substituindo:
Re=\frac{1{,}257\cdot0{,}45}{3{,}94\times10^{-6}}=1{,}4358\times10^{5}.
Interpretação: como Re\gg4000, o escoamento é turbulento. Em escoamentos turbulentos a perda de carga depende da rugosidade relativa \varepsilon/D e do próprio Re.

Passo 4

Escolher equação para o fator de atrito f e explicar opções.
  • Para perda de carga por atrito usa-se a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O fator de atrito f para regime turbulento em tubos rugosos é dado implicitamente pela equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}\right),
que exige solução iterativa.
  • Para facilitar (evitar iteração) usa-se aprox. explícita de boa precisão: fórmula de Swamee–Jain
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Escolhi Swamee–Jain porque é explícita e suficientemente precisa para dimensionamento/tarefas de prova, evitando iteração manual da Colebrook.

Passo 5

Calcular f pela fórmula de Swamee–Jain passo a passo.
  • Primeiro calcule os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}45}=3{,}003\times10^{-5}.
Re^{0{,}9}=(1{,}4358\times10^{5})^{0{,}9}=4{,}392\times10^{4}.
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{4{,}392\times10^{4}}=1{,}307\times10^{-4}.
  • Soma das parcelas dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}=3{,}003\times10^{-5}+1{,}307\times10^{-4}=1{,}607\times10^{-4}.
  • Agora o logaritmo e f:
\log_{10}\!(1{,}607\times10^{-4})=-3{,}7932,
\left[\log_{10}(\cdots)\right]^{2}=(-3{,}7932)^{2}=14{,}39,
f=\frac{0{,}25}{14{,}39}=0{,}01736.
Interpretação: f\approx0{,}0174 é um valor típico para escoamento turbulento em tubos com essa rugosidade relativa e Reynolds.

Passo 6

Calcular a perda de carga h_f usando Darcy–Weisbach.
  • Reescrevendo a fórmula:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
  • Calcule os termos separados:
\frac{L}{D}=\frac{2200}{0{,}45}=4{,}8889\times10^{3},
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}257)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{1{,}580}{19{,}62}=0{,}08057\\ \mathrm{m}.
  • Produto final:
h_f = 0{,}01736\cdot4{,}8889\times10^{3}\cdot0{,}08057 =6{,}84\\ \mathrm{m}.
Explicação prática: isto significa que, pela ação do atrito ao longo dos 2200\\ \mathrm{m} do tubo, a carga hidráulica (altura equivalente de fluido) diminui aproximadamente 6{,}84\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Observações finais e como obter perda de pressão se precisar.
  • Se for necessária a perda de pressão \Delta p (em Pa), usar:
\Delta p = \rho g h_f,
mas é preciso a densidade \rho do óleo (não fornecida no enunciado). Com uma \rho típica (por exemplo 800\\ \mathrm{kg/m^3}) teria \Delta p \approx 800\cdot9{,}81\cdot6{,}84 Pa (apenas como ilustração — não foi usada aqui porque o enunciado não forneceu \rho).
Força final de incentivo: você já fez o mais difícil que é organizar os passos e aplicar as fórmulas corretas — com calma esses cálculos viram rotina!

Resposta

h_f = 6{,}84\\ \mathrm{m}

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