(05) Ative o banco de dados digitando data(mtcars) e data frame estará ativado. Determine a regressão linear de Pearson onde X represntará HP e Y representará DISP
Resposta: \qquad

Passo 1

Estamos com o data frame mtcars, onde X é a potência em cavalos–vapor ( \mathrm{hp}) e Y é o deslocamento do motor em polegadas cúbicas ( \mathrm{disp}). Queremos ajustar a reta de regressão pelo método de mínimos-quadrados de Pearson, ou seja, encontrar constantes a e b tais que
\widehat{Y} = a + b\,X

Passo 2

Calcular as médias amostrais de X e Y:
\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \approx 146{,}6875, \qquad \bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i \approx 230{,}7219.

Passo 3

Calcular a variância de X e a covariância de X com Y:
\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 \approx 4699{,}861,
\mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \approx 6720{,}145.

Passo 4

O coeficiente angular b da regressão é
b = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(X)} \approx \frac{6720{,}145}{4699{,}861} \approx 1{,}43.

Passo 5

O intercepto a é dado por
a = \bar{Y} - b\,\bar{X} \approx 230{,}7219 - 1{,}43 \times 146{,}6875 \approx 20{,}88.

Resposta

A reta de regressão de \mathrm{disp} em função de \mathrm{hp} é
\widehat{\mathrm{disp}} = 20{,}88 \;+\; 1{,}43\,\mathrm{hp}.

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