Em uma fábrica de processamento de alimentos, o mel é bombeado através de um tubo anular. O tubo comprimento L, com raios interno e externo de R_{i} e R_{o}, respectivamente.

a) Mostre a partir das equações N-S que, para escoamento laminar completamente desenvolvido, o perfil de velocidades teórico é dado por:
w(r)=\frac{1}{4 \mu}\left(\frac{\Delta p}{L}\right)\left[R_{i}^{2}-r^{2}-\frac{R_{o}^{2}-R_{i}^{2}}{\ln \left(\frac{R_{i}}{R_{o}}\right)} \ln \left(\frac{r}{R_{i}}\right)\right]
b) Considere um tubo de L=2 m, R_{i}=5 m m, R_{o}=25 m m, \Delta p=125 k P a e \mu= 5 Pa.s, , e faça um gráfico que mostre o a distribuição de velocidade w(r). Identifique através do gráfico qual é o raio onde a velocidade é máxima.
c) A partir da distribuição de velocidades do item (a), obtenha uma expressão para a tensão cisalhante na parede interna do tubo anular.
d) A partir da distribuição de velocidades do item (a), obtenha uma expressão para a vazão volumétrica.
e) A partir da distribuição de velocidades do item (a) e vazão volumétrica do item (d), obtenha uma expressão para a velocidade média;
f) A partir da distribuição de velocidades do item (a), obtenha uma expressão para a velocidade máxima.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento laminar, incompressível e totalmente desenvolvido de um fluido newtoniano (mel) em um tubo anular de comprimento L, raio interno R_i e externo R_o. Vamos usar a equação de Navier–Stokes na direção axial em coordenadas cilíndricas, assumindo regime permanente, simetria angular e gradiente de pressão constante \Delta p/L.

Passo 2

Em regime totalmente desenvolvido só resta a componente axial w(r), sujeita a
0 \;=\; -\frac{\Delta p}{L} \;+\;\mu\,\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dw}{dr}\Bigr).
Integramos uma vez:
r\,\frac{dw}{dr} = \frac{\Delta p}{L}\,\frac{r^2}{2\mu} + C_1.
Divide-se por r e integra-se de novo:
\frac{dw}{dr} = \frac{\Delta p}{L}\,\frac{r}{2\mu} + \frac{C_1}{r}, \qquad w(r) = \frac{\Delta p}{L}\,\frac{r^2}{4\mu} + C_1\ln r + C_2.
Impondo w(R_i)=0 e w(R_o)=0, resolve‐se para C_1,C_2. O resultado é
w(r) =\frac{1}{4\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl[R_i^2 - r^2 -\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\bigl(\tfrac{R_i}{R_o}\bigr)}\, \ln\!\bigl(\tfrac{r}{R_i}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Para o item (b) use
L=2\text{ m},\; R_i=5\text{ mm}=0,005\text{ m},\; R_o=25\text{ mm}=0,025\text{ m},\; \Delta p=125\text{ kPa}=1,25\times10^5\text{ Pa},\; \mu=5\text{ Pa\cdots}.
Fazendo gráfico de w(r) de r=R_i a r=R_o (por exemplo em Python ou Excel), observa‐se um máximo interior. Para achá‐lo analiticamente faz‐se \tfrac{dw}{dr}=0:
\frac{dw}{dr} =\frac{1}{4\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl(-2r \;-\;\frac{R_o^2-R_i^2}{r\,\ln(R_i/R_o)}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; r_{\max} =\sqrt{-\frac{R_o^2-R_i^2}{2\,\ln(R_i/R_o)}}.
Numericamente,
r_{\max} =\sqrt{ -\frac{0,025^2-0,005^2}{2\ln(0,005/0,025)} } \approx0{,}01366\text{ m} \quad(13{,}66\text{ mm}).

Passo 4

Item (c): a tensão cisalhante na parede interna é
\tau_{w} =\Bigl.\mu\,\frac{dw}{dr}\Bigr|_{r=R_i} =\mu\cdot\frac{1}{4\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl(-2R_i-\frac{R_o^2-R_i^2}{R_i\,\ln(R_i/R_o)}\Bigr),
ou seja
\tau_{w} =-\frac{\Delta p}{4L} \Bigl(2R_i+\frac{R_o^2-R_i^2}{R_i\,\ln(R_i/R_o)}\Bigr).

Passo 5

Item (d): a vazão volumétrica é
Q =2\pi\int_{R_i}^{R_o}w(r)\,r\,dr =\frac{\pi}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl[R_o^4-R_i^4 -\frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln(R_o/R_i)}\Bigr].

Passo 6

Item (e): a velocidade média é
\bar w =\frac{Q}{\pi\bigl(R_o^2-R_i^2\bigr)} =\frac{1}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{L}\, \frac{R_o^4-R_i^4- \frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln(R_o/R_i)}} {R_o^2-R_i^2}.

Passo 7

Item (f): a velocidade máxima é
w_{\max} =w(r_{\max}) =\frac{1}{4\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl[R_i^2 - r_{\max}^2 -\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln(R_i/R_o)} \ln\!\bigl(\tfrac{r_{\max}}{R_i}\bigr)\Bigr].

Resposta

a)
w(r) =\frac{1}{4\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl[R_i^2 - r^2 -\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln(\tfrac{R_i}{R_o})} \ln\!\bigl(\tfrac{r}{R_i}\bigr)\Bigr].
b) Gráfico de w(r) mostra máximo em
r_{\max} =\sqrt{-\frac{R_o^2-R_i^2}{2\,\ln(R_i/R_o)}} \approx0,01366\text{ m}.
c)
\tau_{w} =-\frac{\Delta p}{4L} \Bigl(2R_i+\frac{R_o^2-R_i^2}{R_i\,\ln(R_i/R_o)}\Bigr).
d)
Q =\frac{\pi}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl[R_o^4-R_i^4 -\frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln(R_o/R_i)}\Bigr].
e)
\bar w =\frac{Q}{\pi(R_o^2-R_i^2)}.
f)
w_{\max} =w(r_{\max}) =\frac{1}{4\mu}\,\frac{\Delta p}{L} \Bigl[R_i^2 - r_{\max}^2 -\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln(R_i/R_o)} \ln\!\bigl(\tfrac{r_{\max}}{R_i}\bigr)\Bigr].

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