Uma grande bolha de ar é formada na extremidade inferior de um tubo vertical preenchido com um líquido inicialmente parado. A bolha apresenta um movimento ascendente com velocidade V_{B}. Considere que V_{B} dependa do diâmetro do tubo D, da aceleração da gravidade g, da densidade e viscosidade do líquido, \rho e \mu e da tensão superficial \sigma.
a) Utilize D , \rho e g como parâmetros repetitivos e mostre que a relação funcional abaixo é verdadeira. Descreva todo o procedimento!
\frac{V_{B}}{\sqrt{g D}}=\varphi\left(\frac{\mu}{\rho D \sqrt{g D}}, \frac{\sigma}{\rho g D^{2}}\right)
b) Foi determinado experimentalmente que a velocidade da bolha de ar na água é V_{B} =17.8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} para um tubo com 26 mm . É também sabido que para este escoamento da bolha em água as variáveis \rho, \mu e \sigma não influenciam na determinação de V_{B}. Neste caso se o diâmetro da tubulação quadruplica, determine por similaridade qual deve ser a nova velocidade de subida da bolha.

Passo 1

O enunciado trata do movimento ascendente de uma bolha no interior de um tubo vertical, cuja velocidade V_{B} depende de seis variáveis: o diâmetro do tubo D, a aceleração da gravidade g, a densidade do líquido \rho, a viscosidade \mu e a tensão superficial \sigma. Vamos usar o Teorema de Buckingham, escolhendo D, \rho e g como variáveis repetitivas, para obter grupos adimensionais e mostrar que
\frac{V_{B}}{\sqrt{gD}} =\varphi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,D\sqrt{gD}},\;\frac{\sigma}{\rho\,g\,D^{2}}\Bigr).

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais ( M massa, L comprimento, T tempo):
\begin{aligned} V_{B}&\;:\;[L\,T^{-1}],\\\ D&\;:\;[L],\\\ g&\;:\;[L\,T^{-2}],\\\ \rho&\;:\;[M\,L^{-3}],\\\ \mu&\;:\;[M\,L^{-1}\,T^{-1}],\\\ \sigma&\;:\;[M\,T^{-2}]. \end{aligned}

Passo 3

Verificamos que D,\rho,g são independentes e juntos cobrem M,L,T, portanto servem de variáveis repetitivas para Buckingham.

Passo 4

Construímos \Pi_{1} envolvendo V_{B}:
\Pi_{1}=V_{B}\,D^{a}\,\rho^{b}\,g^{c}.
As dimensões são
[L\,T^{-1}]\,[L]^{a}\,[M\,L^{-3}]^{b}\,[L\,T^{-2}]^{c} =M^{b}\,L^{1+a-3b+c}\,T^{-1-2c}.
Para ser adimensional impomos
b=0,\; 1+a-3b+c=0,\; -1-2c=0 \;\Longrightarrow\; b=0,\;c=-\tfrac12,\;a=-\tfrac12.
Logo
\Pi_{1}=\frac{V_{B}}{g^{1/2}D^{1/2}} =\frac{V_{B}}{\sqrt{gD}}.

Passo 5

Construímos \Pi_{2} para \mu:
\Pi_{2}=\mu\,D^{a}\,\rho^{b}\,g^{c}
e análogo ao cálculo anterior achamos
\Pi_{2}=\frac{\mu}{\rho\,D^{3/2}\,\sqrt{g}} =\frac{\mu}{\rho\,D\,\sqrt{gD}}.

Passo 6

Construímos \Pi_{3} para \sigma:
\Pi_{3}=\sigma\,D^{a}\,\rho^{b}\,g^{c}
e obtemos
\Pi_{3}=\frac{\sigma}{\rho\,g\,D^{2}}.

Passo 7

Pelo Teorema de Buckingham, existe uma função adimensional \varphi tal que
\Pi_{1} =\varphi(\Pi_{2},\Pi_{3}) \;\Longrightarrow\; \frac{V_{B}}{\sqrt{gD}} =\varphi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,D\sqrt{gD}},\;\frac{\sigma}{\rho\,g\,D^{2}}\Bigr).

Passo 8

Para parte (b), em água experimentalmente \Pi_{2} e \Pi_{3} não influenciam, logo \varphi é constante e
\frac{V_{B}}{\sqrt{gD}}=\text{const} \;\Longrightarrow\; V_{B}\propto\sqrt{D}.
Se D_{2}=4D_{1}, então
V_{B2}=V_{B1}\sqrt{\frac{D_{2}}{D_{1}}} =V_{B1}\sqrt{4} =2\,V_{B1} =2\times17{,}8\\ \text{cm/s} =35{,}6\\ \text{cm/s}.

Resposta

A nova velocidade de subida da bolha é 35{,}6\\ \text{cm/s}.

Exercícios relacionados