Uma grande bolha de ar é formada na extremidade inferior de um tubo vertical preenchido com um líquido inicialmente parado. A bolha apresenta um movimento ascendente com velocidade
. Considere que
dependa do diâmetro do tubo
, da aceleração da gravidade
, da densidade e viscosidade do líquido,
e
e da tensão superficial
.
a) Utilize D ,
e g como parâmetros repetitivos e mostre que a relação funcional abaixo é verdadeira. Descreva todo o procedimento!
b) Foi determinado experimentalmente que a velocidade da bolha de ar na água é
para um tubo com 26 mm . É também sabido que para este escoamento da bolha em água as variáveis
,
e
não influenciam na determinação de
. Neste caso se o diâmetro da tubulação quadruplica, determine por similaridade qual deve ser a nova velocidade de subida da bolha.
a) Utilize D ,
Passo 1
O enunciado trata do movimento ascendente de uma bolha no interior de um tubo vertical, cuja velocidade
depende de seis variáveis: o diâmetro do tubo
, a aceleração da gravidade
, a densidade do líquido
, a viscosidade
e a tensão superficial
. Vamos usar o Teorema de Buckingham, escolhendo
,
e
como variáveis repetitivas, para obter grupos adimensionais e mostrar que
Passo 2
Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (
massa,
comprimento,
tempo):
Passo 3
Verificamos que
são independentes e juntos cobrem
, portanto servem de variáveis repetitivas para Buckingham.
Passo 4
Construímos
envolvendo
:
As dimensões são
Para ser adimensional impomos
Logo
Passo 5
Construímos
para
:
e análogo ao cálculo anterior achamos
Passo 6
Construímos
para
:
e obtemos
Passo 7
Pelo Teorema de Buckingham, existe uma função adimensional
tal que
Passo 8
Para parte (b), em água experimentalmente
e
não influenciam, logo
é constante e
Se
, então
Resposta
A nova velocidade de subida da bolha é
.