03 - (3,0 pontos) Uma barra longa de aço de baixo carbono com 6 , 0 6 1 c m de diâmetro, esta inicialmente a 38,387^circ C, e é rapidamente imersa em um liquido a 101,02^circ C com um coeficiente de transferência de calor h=165,300 W / m^2 K. Determine o tempo necessário para o eixo da barra aqueça até 90,918 ^circ C, a temperatura da superfície da barra nesse instante, e a energia necessária para que esse aquecimento ocorra. As propriedades termo físicas do aço são ( rho=7934,111 kg / m^3, k=40,408 W / m K, C p= 491,957 J / kg K )

Passo 1

O enunciado trata de aquecimento transiente de uma barra longa de aço por convecção. Precisamos usar o modelo de “lumped capacitance” (corpo de temperatura uniforme) pois iremos determinar o tempo para que o centro da barra (e, nesse modelo, toda a barra) atinja ,90,918^circC, a temperatura de superfície nesse instante e a energia necessária para aquecer a barra. Dados principais:
D=6,061;cm=0,06061;m,
Ti=38,387^circC,
Tinfty=101,02^circC,
h=165,300;W/m^2K,
rho=7934,111;kg/m^3,
k=40,408;W/mK,
cp=491,957;J/kgK.

Passo 2

Verificamos o número de Biot para decidir pelo modelo lumped. Para um cilindro longo usa-se Lc=D/4, então
Bi=h,Lck =165,300;times;(0,06061/4)40,408 approx0,062<0,1
Como Bi<0,1, podemos assumir temperatura uniforme na barra.

Passo 3

No modelo lumped a equação transiente é
T(t)-TinftyTi-Tinfty =expl(-h,Arho,V,cp,tr)
Para cilindro longo ,A/V=4/D, logo o coeficiente de amortecimento é
h,Arho,V,cp =h;4D,rho,cp approx0,002796;s^-1
Queremos T(t)=90,918^circC, então
90,918-101,0238,387-101,02 =expl(-0,002796,tr) Longrightarrow t =-10,002796lnl(-10,102-62,633r) approx652,6;s

Passo 4

No modelo lumped a temperatura da superfície coincide com a do centro, logo
Ts(t)=T(t)=90,918^circC

Passo 5

A energia necessária é
Q=m,cp,(T(t)-Ti),
onde para barra de comprimento L a massa é
m=rho,pi D^24,L
Tomando L=1;m temos
m =7934,111;times;pi,(0,06061)^24;times1 approx22,89;kg,
De<a T=90,918-38,387=52,531;K,
Q =22,89;times;491,957;times;52,531 approx5,92times10^5;J

Resposta

Tempo necessário: tapprox652,6;s ( approx 10,88 min)
Temperatura da superfície nesse instante: Ts=90,918^circC
Energia requerida (por metro de barra): Qapprox5,92times10^5;J

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