03 Questão:_Calcule os auto-valores e auto-vetores associados ao seguinte operador:
A=(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
hat A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 1
Isto é conteúdo de álgebra linear (teoria espectral de matrizes simétricas). Para resolver, vamos (i) obter o polinômio característico det(hat A-lambda I)=0 e (ii) resolver cada sistema (hat A-lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Calculando o determinante
hat A-lambda I = 1-lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 2 1 & 2 & 1-lambda ,
expansão pela primeira linha dá
det(hat A-lambda I) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-4r] - (1-lambda) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-5r]

Passo 3

Resolvendo
(1-lambda)l[(1-lambda)^2-5r]=0
obtém-se
lambda1=1, (1-lambda)^2=5;Rightarrow;lambda2,3=1pmraiz5

Passo 4

Para , o sistema vira
.
Da primeira equação . Da terceira .
Escolhendo , um autovetor é

Passo 5

Para , o sistema é
.
Da primeira equação . Da segunda .
Tomando , obtemos

Passo 6

Para , o sistema é
.
Da primeira equação . Da segunda .
Tomando , obtemos

Resposta

Os autovalores são
lambda1=1, lambda2=1+raiz5 e lambda3=1-raiz5.
Autovetores associados:
v1=-210, v2=12raiz5, v3=12-raiz5

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