04 Questão:_Calcule os auto-vetores e auto-valores associados ao seguinte operador:
B=(ccc 5 & 0 & 0 0 & 2 & i 0 & -i & 2 )

Passo 1

O enunciado nos dá um operador B representado pela matriz
B= 5 & 0 & 0 [6pt] 0 & 2 & i [3pt] 0 & -i & 2
e pede os auto-valores e auto-vetores associados. Para isso, vamos usar cálculo do polinômio característico e resolver sistemas lineares homogêneos.]

Passo 2

Para encontrar os auto-valores, calculamos o polinômio característico
det(B-lambda I) =(5-lambda),det!2-lambda & i [3pt] -i & 2-lambda =(5-lambda)l((2-lambda)^2 - i(-i)r)
Como i(-i)=1, isso vira
(5-lambda)l((2-lambda)^2 -1r)=0
Portanto as raízes são
lambda1=5 e 2-lambda=pm1, ou seja lambda2=1 e lambda3=3.]

Passo 3

Para lambda1=5, resolvemos (B-5I)v=0. A primeira equação (5-5)v1=0 não impõe restrição a v1, e o bloco 2times 2
-3v2 + i v3 = 0, -i v2 -3 v3 = 0
cuja única solução é v2=v3=0. Logo os auto-vetores são múltiplos de
(1,0,0)^T

Passo 4

Para lambda2=1, no bloco 2times 2 o sistema (B-I)v=0 é
v2 + i v3 = 0, -i v2 + v3 = 0,
de onde v2=-i,v3. Tomando v3=1, obtemos o auto-vetor
(0,-i,1)^T

Passo 5

Para lambda3=3, o sistema (B-3I)v=0 no bloco 2times 2 é
-,v2 + i v3 = 0, -i v2 - v3 = 0,
de onde v2=i,v3. Tomando v3=1, obtemos o auto-vetor
(0,i,1)^T

Resposta

Os auto-valores são
lambda1=5, lambda2=1 e lambda3=3,
com auto-vetores correspondentes (até escalares):
v1=(1,0,0)^T, v2=(0,-i,1)^T, v3=(0,i,1)^T

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