04 Questão:_Calcule os auto-vetores e auto-valores associados ao seguinte operador:
Passo 1
O enunciado nos dá um operador
B representado pela matriz
e pede os auto-valores e auto-vetores associados. Para isso, vamos usar cálculo do polinômio característico e resolver sistemas lineares homogêneos.]
Passo 2
Para encontrar os auto-valores, calculamos o polinômio característico
Como
i(-i)=1 , isso vira
Portanto as raízes são
lambda1=5 e
2-lambda=pm1 , ou seja
lambda2=1 e
lambda3=3 .]
Passo 3
Para
lambda1=5 , resolvemos
(B-5I)v=0 . A primeira equação
(5-5)v1=0 não impõe restrição a
v1 , e o bloco
2times 2 dá
cuja única solução é
v2=v3=0 . Logo os auto-vetores são múltiplos de
Passo 4
Para
lambda2=1 , no bloco
2times 2 o sistema
(B-I)v=0 é
de onde
v2=-i,v3 . Tomando
v3=1 , obtemos o auto-vetor
Passo 5
Para
lambda3=3 , o sistema
(B-3I)v=0 no bloco
2times 2 é
de onde
v2=i,v3 . Tomando
v3=1 , obtemos o auto-vetor
Resposta
Os auto-valores são
lambda1=5 ,
lambda2=1 e
lambda3=3 ,
com auto-vetores correspondentes (até escalares):
com auto-vetores correspondentes (até escalares):