[03] Sejam dois números naturais a e b. A soma do antecessor de a com o sucessor de b é igual a 27 . O produto do sucessor de a com o antecessor de b é igual a 126. Achar os números a e b.

Passo 1

O enunciado pede dois números naturais a e b tais que a soma do antecessor de a com o sucessor de b seja 27 e o produto do sucessor de a com o antecessor de b seja 126. Vamos traduzir isso em um sistema de equações e resolvê-lo usando álgebra de equações do 1º e 2º grau.

Passo 2

Traduzindo “soma do antecessor de a com o sucessor de b é 27”:
(a-1) + (b+1) = 27
Simplificando,
a + b = 27

Passo 3

Traduzindo “produto do sucessor de a com o antecessor de b é 126”:
(a+1),(b-1) = 126

Passo 4

Da equação a+b=27 isolamos b:
b = 27 - a
Substituímos em (a+1)(b-1)=126:
(a+1)l((27-a)-1r)=126 Longrightarrow (a+1)(26-a)=126
Expandindo:
26a - a^2 + 26 - a = 126 Longrightarrow -a^2 + 25a -100 = 0
Multiplicando por -1:
a^2 - 25a + 100 = 0

Passo 5

Calculamos o discriminante:
De<a = (-25)^2 - 4cdot1cdot100 = 625 - 400 = 225
Logo,
a = 25 pm raiz2252 = 25 pm 152,
de onde
a1 = 25+152=20, a2 = 25-152=5

Passo 6

Para cada valor de a, calculamos b = 27 - a:
  • Se a=20, então b = 27 - 20 = 7.
  • Se a=5, então b = 27 - 5 = 22.

Passo 7

Verificamos rapidamente em cada caso:
  • a=20,b=7: (20-1)+(7+1)=19+8=27 e (20+1)(7-1)=21cdot6=126.
  • a=5,b=22: (5-1)+(22+1)=4+23=27 e (5+1)(22-1)=6cdot21=126.

Resposta

(a,b) = (20,7) ou (a,b) = (5,22).

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