Find the area of the region that is bounded by the given curve and lies in the specified sector.
r=raizsin theta, quad 0 <= theta <= pi

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = raizsintheta,
para 0 <= theta <= pi, e pede a área da região por ela limitada nesse setor. Vamos usar a fórmula da área em polares.

Passo 2

Na área em coordenadas polares, temos
A = 12 integral0^pi r^2,dtheta
Como r = raizsintheta, segue que
r^2 = sintheta

Passo 3

Substituindo r^2 na integral, obtemos
A = 12 integral0^pi sintheta , dtheta
Sabemos que
integral0^pi sintheta , dtheta = l[-costhetar]0^pi = l(-cospir) - l(-cos0r) = -(-1) - (-1) = 2

Passo 4

Portanto
A = 12 times 2 = 1

Resposta

A área da região é 1.

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