Usando diretamente a definiçã de linite mostre que:
(b) (10p)
(b) (10p)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando diretamente a definição de limite para
, que
O conteúdo principal é a definição de limite no infinito: queremos provar que, para todo
, existe
tal que, se
, então
Passo 2
Calcular e simplificar a diferença:
Como
b^2+a^2x>= a^2x para todo
x>0 , temos a desigualdade
Passo 3
Queremos que
b^2a^2x<varepsilon . Basta escolher
x grande o suficiente para satisfazer
Logo, tomando
temos que, sempre que
x>M ,
Passo 4
Concluímos que, para todo
varepsilon>0 , existe
M=tfracb^2a^2,varepsilon tal que
x>M implica
l|tfraca^2xb^2+a^2x-1r|<varepsilon . Isso completa a prova pela definição de limite no infinito.