Usando diretamente a definiçã de linite mostre que:
(b) (10p) lim x infty a^2 xb^2+a^2 x=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando diretamente a definição de limite para xtoinfty, que
limxtoinftya^2xb^2+a^2x=1
O conteúdo principal é a definição de limite no infinito: queremos provar que, para todo varepsilon>0, existe M>0 tal que, se x>M, então
|a^2xb^2+a^2x-1|<varepsilon

Passo 2

Calcular e simplificar a diferença:
|a^2xb^2+a^2x-1| =|a^2x-(b^2+a^2x)b^2+a^2x| =|-b^2b^2+a^2x| =b^2b^2+a^2x
Como b^2+a^2x>= a^2x para todo x>0, temos a desigualdade
b^2b^2+a^2x<=b^2a^2x

Passo 3

Queremos que b^2a^2x<varepsilon. Basta escolher x grande o suficiente para satisfazer
x>b^2a^2,varepsilon
Logo, tomando
M = b^2a^2,varepsilon,
temos que, sempre que x>M,
|a^2xb^2+a^2x-1| <= b^2a^2x < b^2a^2,M = varepsilon

Passo 4

Concluímos que, para todo varepsilon>0, existe M=tfracb^2a^2,varepsilon tal que x>M implica
l|tfraca^2xb^2+a^2x-1r|<varepsilon. Isso completa a prova pela definição de limite no infinito.

Resposta

limxtoinftya^2xb^2+a^2x=1

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