Aplique a regra da cadeia para calcular as seguintes derivadas:
f(x)=e^cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=e^cos x usando a regra da cadeia. O conteúdo envolve identificar a função externa e a função interna para, em seguida, aplicar a fórmula do produto das derivadas.

Passo 2

Identificamos que f(x) pode ser vista como a composição de duas funções:
u(x)=cos x
e
g(u)=e^u
Ou seja, f(x)=gl(u(x)r).

Passo 3

Calculamos a derivada da função externa g(u)=e^u em relação a u. Sabemos que
g'(u)=ddue^u=e^u

Passo 4

Calculamos a derivada da função interna u(x)=cos x em relação a x. Sabemos que
u'(x)=ddxcos x=-sin x

Passo 5

Pela regra da cadeia, a derivada de f(x)=g(u(x)) é
f'(x)=g'l(u(x)r)cdot u'(x)
Substituindo u(x)=cos x, g'(u)=e^u e u'(x)=-sin x, obtemos
f'(x)=e^cos xcdotl(-sin xr)=-e^cos xsin x

Resposta

f'(x)=-e^cos xsin x

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