• 033 Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 890 N . Desejamos fazer a caixa “rolar”, empurrando-a horizontalmente por uma das bordas superiores. (a) Qual é a menor força necessária? (b) Qual é o menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso? (c) Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, determine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça. (Sugestão: Qual é o ponto de aplicação da força normal quando a caixa está prestes a tombar?)

Passo 1

Temos uma caixa cúbica de aresta L e peso \,W=890\rm \,N. Queremos fazê-la “rolar” empurrando horizontalmente por uma aresta superior sem que ela escorregue. Para isso usaremos equilíbrio de momentos (torques) em torno da aresta de contato (pivô) e condição de não deslizamento pelo atrito estático.

Passo 2

Para que a caixa comece a tombar, o momento da força P em relação ao pivô deve igualar o momento do peso. A força P age a uma altura L e o peso W produz momento com braço L/2. Logo,
P\,L \;=\; W\,\frac{L}{2} \quad\Longrightarrow\quad P \;=\;\frac{W}{2}\,.

Passo 3

Para evitar deslizamento, a força de atrito F_f máxima satisfaz F_f\le\mu_s\,N com N=W. Como em equilíbrio horizontal F_f=P, temos
\mu_s \;\ge\;\frac{P}{W}\;=\;\frac{1}{2}\,.

Passo 4

Se escolhermos outro ponto de aplicação da força, o maior braço de alavanca em relação à aresta ocorre no vértice oposto da face superior, cuja distância perpendicular ao pivô é
d_{\max}=L\sqrt{2}.
Nesse caso o torque de P é P\,L\sqrt2 e deve equilibrar W\,(L/2), ou seja,
P\,L\sqrt2 = W\,\frac{L}{2} \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{W}{2\sqrt2}\,.

Resposta

(a) \displaystyle P_{\min}=\frac{W}{2}=445\rm\\ N.
(b) \displaystyle \mu_s\ge\frac12.
(c) \displaystyle P_{\min}=\frac{W}{2\sqrt2}\approx315\rm\\ N.

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