Um bloco de massa m=5 \mathrm{~kg} é impulsionado em direção a um plano inclinado, alcançando sua base com velocidade v_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O coeficiente de atrito cinético entre o plano inclinado e o bloco é \mu_{c}=0,35. O ângulo entre o plano e a horizontal é \theta=30^{\circ}. (a) Calcule a distância que o bloco percorre ao longo do plano inclinado ( 6,22 \mathrm{~m} ). (b) Calcule a aceleração durante a subida \left(-8,03 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right). (c) Calcule a aceleração durante a descida \left(1,97 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right). (d) Calcule a velocidade com que o bloco retorna à base do plano ( 4,95 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ). (e) Calcule os tempos de subida e de descida ( 1,25 \mathrm{~s} ; 2,51 \mathrm{~s} ).

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=5\;\mathrm{kg} lançado com velocidade inicial v_{0}=10\;\mathrm{m/s} para cima de um plano inclinado que forma um ângulo \theta=30^\circ com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre bloco e plano é \mu_{c}=0,35.
Para resolver, vamos:
  1. Aplicar a segunda lei de Newton ao longo do plano para encontrar a aceleração na subida e na descida, lembrando que a força de atrito vale \mu_{c} m g \cos\theta.
  2. Usar as equações de cinemática (velocidade, posição e tempo) para obter a distância, as velocidades e os tempos pedidos.
    Adotamos g=10\;\mathrm{m/s^{2}} conforme os resultados fornecidos.

Passo 2

Na subida, o peso tem componente para baixo m g \sin\theta e o atrito também aponta para baixo com módulo \mu_{c} m g \cos\theta. Pelo eixo positivo para cima do plano, a força resultante é
F_{\mathrm{res}}=-\bigl(mg\sin\theta+\mu_{c}m g\cos\theta\bigr)
e a aceleração é
a_{\text{subida}}=\frac{F_{\mathrm{res}}}{m} =-\bigl(g\sin\theta+\mu_{c}g\cos\theta\bigr).
Substituindo g=10\;\mathrm{m/s^{2}}, \sin30^\circ=0,5 e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866, obtemos
a_{\text{subida}} =-\bigl(10\cdot0,5+0,35\cdot10\cdot0,866\bigr) =-8,03\;\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Para achar a distância máxima s que o bloco percorre até parar, usamos
v^{2}=v_{0}^{2}+2\,a_{\text{subida}}\,s,
com v=0. Então
0=10^{2}+2\cdot(-8,03)\,s \quad\Longrightarrow\quad s=\frac{-10^{2}}{2\cdot(-8,03)}=6,22\;\mathrm{m}.

Passo 4

Na descida, o peso aponta para baixo do plano ( +), mas o atrito agora é para cima. Logo,
F_{\mathrm{res}}=mg\sin\theta-\mu_{c}m g\cos\theta
e
a_{\text{descida}} =g\sin\theta-\mu_{c}g\cos\theta =10\cdot0,5-0,35\cdot10\cdot0,866 =1,97\;\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

A velocidade ao retornar à base do plano, partindo do repouso no topo e percorrendo s=6,22\;\mathrm{m} com a_{\text{descida}}, vem de
v^{2}=0^{2}+2\,a_{\text{descida}}\,s \quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2\cdot1,97\cdot6,22}=4,95\;\mathrm{m/s}.

Passo 6

O tempo de subida t_{\text{subida}} obedece
v=v_{0}+a_{\text{subida}}\,t_{\text{subida}} \quad\Longrightarrow\quad 0=10+(-8,03)\,t_{\text{subida}} \quad\Longrightarrow\quad t_{\text{subida}}=1,25\;\mathrm{s}.
O tempo de descida t_{\text{descida}} vem de
v=a_{\text{descida}}\,t_{\text{descida}} \quad\Longrightarrow\quad 4,95=1,97\,t_{\text{descida}} \quad\Longrightarrow\quad t_{\text{descida}}=2,51\;\mathrm{s}.

Resposta

(a) 6,22\;\mathrm{m}
(b) -8,03\;\mathrm{m/s^{2}}
(c) 1,97\;\mathrm{m/s^{2}}
(d) 4,95\;\mathrm{m/s}
(e) 1,25\;\mathrm{s};\;2,51\;\mathrm{s}

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