6 Uma escada está apoiada em uma parede sem atrito, mas não cai por causa do atrito com o chão. Suponha que a base da escada seja deslocada em direção à parede. Determine se a grandeza a seguir aumenta, diminui ou permanece a mesma (em módulo): (a) a força normal sobre a escada exercida pelo chão; (b) a força exercida pela parede sobre a escada; (c) a força de atrito estático exercida pelo chão sobre a escada; (d) o valor máximo f_{s, \text { máx }}á da força de atrito estático.

Passo 1

Temos uma escada de comprimento L e peso mg apoiada sem atrito na parede e com atrito estático no chão. Ao deslocar a base em direção à parede, o ângulo \theta entre a escada e o chão aumenta. Para analisar como variam as forças, usaremos as condições de equilíbrio de forças (horizontal e vertical) e de torques em torno da base da escada.

Passo 2

Equilíbrio vertical no ponto de contato com o chão:
N_{\text{chão}} - mg = 0ã
Logo,
N_{\text{chão}} = mg.ã
Como mg é constante e não depende de \theta, o módulo de N_{\text{chão}}ã permanece o mesmo quando a base se aproxima da parede.

Passo 3

Equilíbrio de torques em torno da base (momento da força da parede contra momento do peso):
N_{\text{parede}}\;L\sin\theta = mg\;\frac{L}{2}\cos\theta.
Cancelando L e isolando N_{\text{parede}},
N_{\text{parede}} = \frac{mg}{2}\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{mg}{2}\cot\theta.
À medida que \theta aumenta, \cot\theta diminui, logo o módulo de N_{\text{parede}} diminui.

Passo 4

Equilíbrio horizontal no chão: a força de atrito estático f_s equilibra N_{\text{parede}}. Assim,
f_s = N_{\text{parede}} = \frac{mg}{2}\cot\theta.
Como \cot\theta decresce com o aumento de \theta, o módulo da força de atrito estático também diminui.

Passo 5

O valor máximo da força de atrito estático é
f_{s,\max} = \mu\,N_{\text{chão}} = \mu\,mg.ã
Aqui \mu e mg são constantes, portanto f_{s,\max} permanece inalterado.

Resposta

(a) Permanece a mesma.
(b) Diminui.
(c) Diminui.
(d) Permanece a mesma.

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