04- (1,0pt) Calcule f^{\prime}(2), sendo f(x)=e^{x^{2}-2 x}+\frac{1}{e^{3 x}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de f^{\prime}(2) para a função
f(x)=e^{x^{2}-2 x}+\frac{1}{e^{3 x}}.
Informações dadas:
  • A função é a soma de duas funções, e^{x^{2}-2 x} e \dfrac{1}{e^{3 x}}.
  • O que se pede é a derivada de f avaliada em x=2, ou seja f^{\prime}(2).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Derivada de uma soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=u(x)+v(x) então
f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).
  • Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se u(x)=e^{g(x)} com g diferenciável, então
u^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\,e^{g(x)}.
Aqui g(x) é a função interna e g^{\prime}(x) é sua derivada.
  • Também é útil reescrever \dfrac{1}{e^{3x}} como e^{-3x}, porque a derivada de e^{g(x)} com g(x)=-3x é direta pela regra anterior.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo e^{x^{2}-2 x}.
  • Identificamos g(x)=x^{2}-2x.
  • Calculamos a derivada de g:
g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}-2x\right)=2x-2.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(e^{x^{2}-2 x}\right)=(2x-2)\,e^{x^{2}-2 x}.

Passo 4

Agora derivamos o segundo termo \dfrac{1}{e^{3 x}}.
  • Primeiro reescrevemos em forma exponencial:
\frac{1}{e^{3 x}}=e^{-3x}.
  • A função interna é h(x)=-3x, cuja derivada é h^{\prime}(x)=-3.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(e^{-3x}\right)=(-3)\,e^{-3x}.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos (regra da soma):
f^{\prime}(x)=(2x-2)\,e^{x^{2}-2 x}-3\,e^{-3x}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=2.
  • Calcule 2x-2 em x=2:
2\cdot 2-2=4-2=2.
  • Calcule x^{2}-2x em x=2:
2^{2}-2\cdot 2=4-4=0, \qquad\text{portanto}\qquad e^{x^{2}-2 x}\Big|_{x=2}=e^{0}=1.
  • Calcule o termo exponencial do segundo somando em x=2:
e^{-3x}\Big|_{x=2}=e^{-6}.
  • Substituindo em f^{\prime}(x):
f^{\prime}(2)=2\cdot 1-3\,e^{-6}=2-3e^{-6}.
Também se pode escrever como f^{\prime}(2)=2-\dfrac{3}{e^{6}}.

Resposta

2-3e^{-6}

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