04- (1,0pt) Calcule
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
para a função
Informações dadas:
- A função é a soma de duas funções,
e . - O que se pede é a derivada de
avaliada em , ou seja .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Derivada de uma soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
- Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se
com diferenciável, então
Aqui
é a função interna e
é sua derivada.
- Também é útil reescrever
como , porque a derivada de com é direta pela regra anterior.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo
.
- Identificamos
. - Calculamos a derivada de
:
- Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora derivamos o segundo termo
- Primeiro reescrevemos em forma exponencial:
- A função interna é
, cuja derivada é . - Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos (regra da soma):
Passo 6
Agora avaliamos em
.
- Calcule
em :
- Calcule
em :
- Calcule o termo exponencial do segundo somando em
:
- Substituindo em
:
Também se pode escrever como
.