Deduza as seguintes fórmulas integrais
(a) \oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r}=\iint(v \Delta u+\nabla v \cdot \nabla u) d x d y;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já é dado.
  • Pede-se deduzir a fórmula
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r}=\iint (v \Delta u+\nabla v \cdot \nabla u)\,dx\,dy.
  • Informações/assunções que vamos usar (não foram explicitadas no enunciado, então vamos tomá‑las para que a dedução faça sentido):
    • Seja \Omega uma região do plano xy com fronteira suave \alpha=\partial\Omega e orientação positiva (sentido anti‑horário).
    • As funções u e v são suficientemente suaves em \overline\Omega (por exemplo u\in C^2(\overline\Omega) e v\in C^1(\overline\Omega)).
    • Interpretação da notação de contorno: vou interpretar \oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r} como o integral de linha escalar sobre a fronteira com o elemento de comprimento de arco, isto é
    \oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n}\,ds,onde \dfrac{\partial u}{\partial n} é a derivada normal externa definida por \dfrac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot\mathbf{n} e ds é o comprimento de arco (se a notação do enunciado for diferente, este é o sentido habitual da identidade que vamos provar).

Passo 2

Definições e fórmulas básicas que vamos usar (aula rápida).
  • Gradiente: para uma função escalar u(x,y),
\nabla u = \left(\dfrac{\partial u}{\partial x},\; \dfrac{\partial u}{\partial y}\right).
Isso é um vetor que aponta na direção de maior variação de u.
  • Divergência: para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2),
\operatorname{div}\mathbf{F} = \dfrac{\partial F_1}{\partial x} + \dfrac{\partial F_2}{\partial y}.
É a taxa de “saída” de \mathbf{F} por unidade de área.
  • Laplaciano: para u,
\Delta u = \operatorname{div}(\nabla u)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
  • Derivada normal: se \mathbf{n} é o vetor unitário normal externo a \alpha, então
\dfrac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot\mathbf{n}.
  • Teorema da divergência (versão planar / teorema de Green em forma divergente): para \mathbf{F} suave em \Omega,
\iint_{\Omega} \operatorname{div}\mathbf{F}\,dx\,dy=\int_{\partial\Omega} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds.
Esse teorema transforma uma integral de área da divergência numa integral de contorno do fluxo.

Passo 3

Escolher um campo vetorial conveniente e calcular sua divergência.
  • Uma escolha natural é tomar o campo vetorial
\mathbf{F} = v\,\nabla u.
Isto é, \mathbf{F}(x,y) = v(x,y)\big(\partial_x u,\partial_y u\big).
  • Vamos calcular \operatorname{div}\mathbf{F} usando a regra do produto (derivar cada componente):
\operatorname{div}\mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}\big(v\,\partial_x u\big)+\dfrac{\partial}{\partial y}\big(v\,\partial_y u\big).
Aplicando a regra do produto em cada termo:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(v\,\partial_x u\big)=\partial_x v\;\partial_x u + v\;\partial_{xx}u,
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(v\,\partial_y u\big)=\partial_y v\;\partial_y u + v\;\partial_{yy}u.
Somando os dois resultados:
\operatorname{div}\mathbf{F} = \partial_x v\;\partial_x u + \partial_y v\;\partial_y u + v\big(\partial_{xx}u+\partial_{yy}u\big).
Reescrevendo com notação vetorial:
\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla v\cdot\nabla u + v\,\Delta u.

Passo 4

Aplicar o teorema da divergência ao campo escolhido.
  • Pelo teorema da divergência na região \Omega com fronteira \alpha,
\iint_{\Omega} \operatorname{div}\mathbf{F}\,dx\,dy = \int_{\alpha} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Substituindo \mathbf{F}=v\nabla u e a expressão da divergência obtida no passo anterior, o lado esquerdo fica
\iint_{\Omega} \big(\nabla v\cdot\nabla u + v\,\Delta u\big)\,dx\,dy.
  • O lado direito é
\int_{\alpha} (v\nabla u)\cdot\mathbf{n}\,ds = \int_{\alpha} v\,(\nabla u\cdot\mathbf{n})\,ds = \int_{\alpha} v\,\dfrac{\partial u}{\partial n}\,ds.

Passo 5

Escrever a identidade final e comentar hipóteses de regularidade.
  • Igualando os dois lados obtemos exatamente a identidade pedida:
\int_{\alpha} v\,\dfrac{\partial u}{\partial n}\,ds = \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u + \nabla v\cdot\nabla u\big)\,dx\,dy.
  • Observação sobre hipóteses: para que todos os passos sejam válidos é suficiente que u\in C^2(\overline\Omega) e v\in C^1(\overline\Omega); a fronteira \alpha deve ser suficientemente suave para que o teorema da divergência valha.

Resposta

\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n}\,ds \;=\; \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\big)\,dx\,dy.

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