Deduza as seguintes fórmulas integrais
(a) \oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r}=\iint(v \Delta u+\nabla v \cdot \nabla u) d x d y;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já é dado.
Pede-se deduzir a fórmula
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r}=\iint (v \Delta u+\nabla v \cdot \nabla u)\,dx\,dy.
Informações/assunções que vamos usar (não foram explicitadas no enunciado, então vamos tomá‑las para que a dedução faça sentido):
Seja \Omega uma região do plano xy com fronteira suave \alpha=\partial\Omega e orientação positiva (sentido anti‑horário).
As funções u e v são suficientemente suaves em \overline\Omega (por exemplo u\in C^2(\overline\Omega) e v\in C^1(\overline\Omega)).
Interpretação da notação de contorno: vou interpretar \oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r} como o integral de linha escalar sobre a fronteira com o elemento de comprimento de arco, isto é
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n}\,ds,onde \dfrac{\partial u}{\partial n} é a derivada normal externa definida por \dfrac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot\mathbf{n} e ds é o comprimento de arco (se a notação do enunciado for diferente, este é o sentido habitual da identidade que vamos provar).
Passo 2
Definições e fórmulas básicas que vamos usar (aula rápida).
Gradiente: para uma função escalar u(x,y),
\nabla u = \left(\dfrac{\partial u}{\partial x},\; \dfrac{\partial u}{\partial y}\right).
Isso é um vetor que aponta na direção de maior variação de u.
Divergência: para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2),
Observação sobre hipóteses: para que todos os passos sejam válidos é suficiente que u\in C^2(\overline\Omega) e v\in C^1(\overline\Omega); a fronteira \alpha deve ser suficientemente suave para que o teorema da divergência valha.
Resposta
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n}\,ds \;=\; \iint_{\Omega}\big(v\,\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\big)\,dx\,dy.