06 - A altura da pressão no centro de certa seção de um conduto plástico com 100 mm de diâmetro é de 15,25 \mathrm{~m}. No centro de outra seção localizada a jusante, a pressão vale 1,4 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Se a vazão for de 6 \mathrm{l} / \mathrm{s}, qual a distância entre essas seções? Considerar uma tubulação horizontal e \gamma \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Informações fornecidas:
  • Diâmetro da tubulação: D=100\\ \text{mm}.
  • Altura da pressão no centro da seção a montante: h_1=15{,}25\\ \text{m} (cabeça de pressão em metros de água).
  • Pressão no centro da seção a jusante: p_2=1{,}4\\ \text{kgf}/\text{cm}^2.
  • Vazão volumétrica: Q=6\\ \text{L}/\text{s}.
  • Tubulação horizontal.
  • Peso específico da água: \gamma_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \text{kgf}/\text{m}^3.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a distância L entre as duas seções (comprimento do trecho) sabendo a vazão dada e os valores de pressão/cabeça.

Passo 2

Converter unidades para o sistema SI consistente (metros, segundos, metros cúbicos por segundo).
  • Diâmetro: D=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m}.
  • Vazão: Q=6\\ \text{L}/\text{s}=6\times10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s}.
Converter a pressão p_2 em cabeça (metros de coluna d’água). Primeiro transformar \text{kgf}/\text{cm}^2 em \text{kgf}/\text{m}^2:
p_2 = 1{,}4\\ \frac{\text{kgf}}{\text{cm}^2} = 1{,}4\times10^{4}\\ \frac{\text{kgf}}{\text{m}^2}.
A cabeça de pressão é \displaystyle h_2=\frac{p_2}{\gamma_{\mathrm{H_2O}}}. Logo,
h_2=\frac{1{,}4\times10^{4}}{1000}=14{,}0\\ \text{m}.

Passo 3

Usar a equação de energia (Bernoulli) entre as seções, levando em conta perda de carga por atrito h_f. Para tubulação horizontal e diâmetros iguais as velocidades são iguais e os termos de energia cinética se cancelam, ficando:
h_1 = h_2 + h_f.
Portanto a perda de carga total no trecho é
h_f = h_1 - h_2 = 15{,}25 - 14{,}0 = 1{,}25\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a velocidade média V na tubulação a partir de Q e da área da seção A.
A área é
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}100)^2}{4}.
Calcular numericamentes:
A=\pi\cdot0{,}0025\approx0{,}00785398\\ \text{m}^2.
Logo
V=\frac{Q}{A}=\frac{6\times10^{-3}}{0{,}00785398}\approx0{,}76394\\ \text{m/s}.

Passo 5

Determinar o regime de escoamento com o número de Reynolds. Usar a viscosidade cinemática da água aproximada \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}.
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}=\frac{0{,}76394\cdot0{,}100}{1\times10^{-6}}\approx7{,}64\times10^{4}.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento.

Passo 6

Escolher expressão para o fator de atrito \,f. Para escoamento turbulento em tubos plásticos (suavemente rugosos) e para \mathrm{Re} entre 4\times10^{3} e 10^{5}, a correlação de Blasius é prática e simples:
f \approx 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Aplicando:
f \approx 0{,}3164\,(7{,}64\times10^{4})^{-0{,}25}\approx0{,}01903.
(Justificativa: a rugosidade absoluta de tubos plásticos é muito pequena, e para esse intervalo de Reynolds a fórmula de Blasius fornece boa aproximação sem precisar da equação implícita de Colebrook.)

Passo 7

Usar a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga distribuída:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde g=9{,}81\\ \text{m/s}^2. Isolar L:
L = h_f\cdot\frac{D}{f}\cdot\frac{2g}{V^2}.
Substituir os valores numéricos passo a passo.
Calcular V^2:
V^2\approx(0{,}76394)^2\approx0{,}5836\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Calcular o fator multiplicativo:
\frac{D}{f}=\frac{0{,}100}{0{,}01903}\approx5{,}254, \qquad \frac{2g}{V^2}=\frac{2\cdot9{,}81}{0{,}5836}\approx33{,}62.
Multiplicando:
L = 1{,}25\cdot5{,}254\cdot33{,}62\approx220{,}8\\ \text{m}.
Arredondando com precisão razoável para este tipo de problema:
L\approx221\\ \text{m}.

Passo 8

Breve verificação qualitativa: a perda de carga de 1{,}25\\ \text{m} para um fluxo moderado em tubo de 0{,}1\\ \text{m} resultar numa distância da ordem de algumas centenas de metros parece coerente. O resultado depende do fator f; se se usasse outro método para f (Colebrook com outra rugosidade) o L mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza permaneceria próxima.

Resposta

L \approx 221\\ \text{m}

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