04 - Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
© f(mu, v)=e^vmu+v^2

Passo 1

A questão pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f(mu,v)=dfrace^vmu+v^2. Isso cai em derivadas parciais, onde vamos tratar uma variável de cada vez e usar as regras de produto, cadeia e quociente.

Passo 2

Para achar partial fpartialmu, note que v é tratado como constante e usamos que f=e^v,(mu+v^2)^-1. Aplicando a regra da cadeia em (mu+v^2)^-1, temos
partial fpartialmu = e^vcdot(-1),(mu+v^2)^-2cdot1 = -e^v(mu+v^2)^2

Passo 3

Para achar partial fpartial v, usamos a forma f=e^v,(mu+v^2)^-1 e a regra do produto:
  1. Derivada de e^v é e^v vezes o outro fator.
  2. Mais e^v vezes a derivada de (mu+v^2)^-1, que é -1)(mu+v^2)^-2cdot2v.
    Então
partial fpartial v = e^vmu+v^2 -2v,e^v(mu+v^2)^2 = e^vl(mu+v^2-2vr)(mu+v^2)^2

Passo 4

Agora vamos às derivadas de segunda ordem envolvendo mu. Primeiro derive partial fpartialmu=-e^v(mu+v^2)^-2:
  • Para partial^2f/partialmu^2, trate v como constante de novo e aplique cadeia:
partial^2 fpartialmu^2 = -e^vcdot(-2),(mu+v^2)^-3cdot1 = 2e^v(mu+v^2)^3
  • Para o misto partial^2f/partial vpartialmu, derive partial f/partialmu em relação a v. Usando produto e cadeia:
partial^2 fpartial vpartialmu = -e^v(mu+v^2)^2 +4v,e^v(mu+v^2)^3 = e^v(4v-mu-v^2)(mu+v^2)^3

Passo 5

Por fim, para partial^2 fpartial v^2 derive partial f/partial v= e^v/(mu+v^2)-2v,e^v/(mu+v^2)^2 em relação a v. Aplicando produto e cadeia em cada termo, chegamos a:
partial^2 fpartial v^2 = e^vmu+v^2 -2(2v+1)e^v(mu+v^2)^2 +8v^2e^v(mu+v^2)^3

Passo 6

Essas são todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem pedidas.

Resposta

partial fpartialmu=-e^v(mu+v^2)^2,
partial fpartial v=e^v(mu+v^2-2v)(mu+v^2)^2,
partial^2 fpartialmu^2=2e^v(mu+v^2)^3,
partial^2 fpartialmupartial v=e^v(4v-mu-v^2)(mu+v^2)^3,
partial^2 fpartial v^2= e^vmu+v^2-2(2v+1)e^v(mu+v^2)^2+8v^2e^v(mu+v^2)^3

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