04 - Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
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Passo 1
A questão pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
. Isso cai em derivadas parciais, onde vamos tratar uma variável de cada vez e usar as regras de produto, cadeia e quociente.
Passo 2
Para achar
, note que
é tratado como constante e usamos que
. Aplicando a regra da cadeia em
, temos
Passo 3
Para achar
, usamos a forma
e a regra do produto:
- Derivada de
é vezes o outro fator. - Mais
vezes a derivada de , que é .
Então
Passo 4
Agora vamos às derivadas de segunda ordem envolvendo
. Primeiro derive
:
- Para
, trate como constante de novo e aplique cadeia:
- Para o misto
, derive em relação a . Usando produto e cadeia:
Passo 5
Por fim, para
derive
em relação a
. Aplicando produto e cadeia em cada termo, chegamos a:
Passo 6
Essas são todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem pedidas.