Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva o problema do valor inicial:
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva o problema do valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A gente tem uma equação que envolve derivadas e uma condição inicial que nos dá o valor de
quando
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem e encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
A equação que a gente tem é:
Vamos dividir todos os termos por
para deixar a equação na forma padrão:
Simplificando o termo que multiplica
:
Então, a equação fica:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
A equação fica então:
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando o lado esquerdo, obtemos:
Calculando a integral do lado direito:
Então, temos:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
.
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: