Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva o problema do valor inicial:
(x+1) cdot y^prime-2 cdot(x^2+x) y=e^x^2x+1
y(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A gente tem uma equação que envolve derivadas e uma condição inicial que nos dá o valor de y quando x = 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem e encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
y' + P(x) cdot y = Q(x)
A equação que a gente tem é:
(x + 1) cdot y' - 2(x^2 + x) cdot y = e^x^2x + 1
Vamos dividir todos os termos por x + 1 para deixar a equação na forma padrão:
y' - 2(x^2 + x)x + 1 cdot y = e^x^2(x + 1)^2
Simplificando o termo que multiplica y :
2(x^2 + x)x + 1 = 2x
Então, a equação fica:
y' - 2x cdot y = e^x^2(x + 1)^2
Aqui, identificamos que:
P(x) = -2x e Q(x) = e^x^2(x + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -2x :
mu(x) = e^integral -2x , dx = e^-x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^-x^2 cdot y' - 2x cdot e^-x^2 cdot y = e^-x^2 cdot e^x^2(x + 1)^2
Simplificando o lado direito:
e^-x^2 cdot e^x^2(x + 1)^2 = 1(x + 1)^2
A equação fica então:
ddx ( e^-x^2 cdot y ) = 1(x + 1)^2
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto e^-x^2 cdot y .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^-x^2 cdot y ) , dx = integral 1(x + 1)^2 , dx
Integrando o lado esquerdo, obtemos:
e^-x^2 cdot y = integral 1(x + 1)^2 , dx + C
Calculando a integral do lado direito:
integral 1(x + 1)^2 , dx = -1x + 1 + C
Então, temos:
e^-x^2 cdot y = -1x + 1 + C
Para isolar y , multiplicamos ambos os lados por e^x^2 :
y = -e^x^2x + 1 + C cdot e^x^2

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 5 para encontrar o valor da constante C .
Substituindo x = 0 e y = 5 na equação:
5 = -e^00 + 1 + C cdot e^0
Simplificando:
5 = -1 + C
Resolvendo para C :
C = 5 + 1 = 6

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = (6 - 1x + 1) cdot e^x^2

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