Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva o problema do valor inicial:
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Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva o problema do valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) onde precisa resolver a equação
com as condições iniciais
e
. Basicamente, vamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação representa. A equação
é uma EDO de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes. Isso significa que a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas, já que a equação se parece com a equação harmônica.
Passo 3
Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Para isso, usamos a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Aqui,
é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas, a solução geral será:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, usemos
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Em seguida, vamos usar a segunda condição inicial
. Primeiro, calculemos a derivada de
:
Agora, substituímos
:
Sabendo que
e
:
Resposta
Com os valores de
e
encontrados, a solução da EDO é: