Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva o problema do valor inicial:
y^prime prime+9 y=0
y(pi)=-2 ; y^prime(pi)=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) onde precisa resolver a equação y'' + 9y = 0 com as condições iniciais y(pi) = -2 e y'(pi) = 3 . Basicamente, vamos encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e essas condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação representa. A equação y'' + 9y = 0 é uma EDO de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes. Isso significa que a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas, já que a equação se parece com a equação harmônica.

Passo 3

Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Para isso, usamos a equação característica associada:
r^2 + 9 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = -9 r = pm 3i
Aqui, i é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas, a solução geral será:
y(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 .
Primeiro, usemos y(pi) = -2 :
-2 = C1 cos(3pi) + C2 sin(3pi)
Sabemos que cos(3pi) = -1 e sin(3pi) = 0 , então:
-2 = C1 (-1) + C2 (0) -2 = -C1 C1 = 2

Passo 5

Em seguida, vamos usar a segunda condição inicial y'(pi) = 3 . Primeiro, calculemos a derivada de y(x) :
y'(x) = -3C1 sin(3x) + 3C2 cos(3x)
Agora, substituímos x = pi :
3 = -3C1 sin(3pi) + 3C2 cos(3pi)
Sabendo que sin(3pi) = 0 e cos(3pi) = -1 :
3 = -3C1 (0) + 3C2 (-1) 3 = -3C2 C2 = -1

Resposta

Com os valores de C1 e C2 encontrados, a solução da EDO é:
y(x) = 2 cos(3x) - sin(3x)

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