Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva a equação diferencial:
e^2 x cdot y^prime+2 cdot e^2 x cdot y=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou. A equação é:
e^2x cdot y' + 2 cdot e^2x cdot y = 2x
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre fatores integrantes e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por e^2x . Isso facilita a identificação da estrutura padrão da equação linear:
y' + 2y = 2xe^2x
Agora, nossa equação está na forma padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
onde P(x) = 2 e Q(x) = 2xe^2x .

Passo 3

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) ). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x)dx
Aqui, P(x) = 2 , então:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^2x :
e^2x y' + 2e^2x y = 2x
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(x)y :
ddx [e^2x y] = 2x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx [e^2x y] dx = integral 2x dx
A integral da derivada é simplesmente e^2x y , e a integral de 2x é x^2 + C , onde C é a constante de integração:
e^2x y = x^2 + C

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y isolando-o na equação:
y = x^2 + Ce^2x
Podemos reescrever isso como:
y = e^-2x x^2 + C e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-2x x^2 + C e^-2x

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