(04) Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por: \rho(r)=\rho_{0} r^{2}(0 \leq r \leq R), onde \rho_{0} é uma constante e r é a distância até a origem. (a) Calcule a carga total da distribuição. (b) Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço.

Passo 1

O enunciado define uma distribuição esfericamente simétrica com densidade volumétrica \rho(r)=\rho_{0}\,r^{2} para 0\le r\le R. Precisamos calcular (a) a carga total e (b) o campo elétrico em qualquer ponto do espaço. Vamos usar integração para achar a carga total e a Lei de Gauss para obter o campo.

Passo 2

Para calcular a carga total usamos a integral de volume em coordenadas esféricas:
Q=\int_{V}\rho(r)\,dV =4\pi\int_{0}^{R}\rho_{0}\,r^{2}\;r^{2}\,dr =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{R}r^{4}\,dr =4\pi\rho_{0}\,\frac{R^{5}}{5}.

Passo 3

Dentro da esfera r<R, a carga contida num raio r é
Q_{\rm int}(r) =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}r'^{4}\,dr' =4\pi\rho_{0}\,\frac{r^{5}}{5}.
Pela Lei de Gauss, como \E=E(r)\,\hat r e a superfície gaussiana é uma esfera de raio r,
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\rm int}(r)}{\varepsilon_{0}} =\frac{4\pi\rho_{0}}{5\varepsilon_{0}}\,r^{5} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho_{0}}{5\varepsilon_{0}}\,r^{3} \quad(r<R).

Passo 4

Fora da distribuição r>R, toda a carga Q é vista como concentrada na origem. Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q}{\varepsilon_{0}} =\frac{4\pi\rho_{0}R^{5}}{5\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho_{0}R^{5}}{5\varepsilon_{0}\,r^{2}} \quad(r>R).

Resposta

\displaystyle Q=\frac{4\pi\rho_{0}R^{5}}{5}. Para o campo elétrico:
E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}}{5\varepsilon_{0}}\,r^{3}\,\hat r\;, & r<R,\\[8pt] \dfrac{\rho_{0}R^{5}}{5\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat r\;, & r>R. \end{cases}]

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