O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a equação \mathrm{c}=0,30+0,17 \mathrm{~T}+0,025 T^{2}, com T em { }^{\circ} \mathrm{C} e c em cal / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K}. Determine a energia necessária para aumentar a temperatura de 2,0 \mathrm{~g} da substância de 5,0^{\circ} \mathrm{C} para 15^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a energia necessária para elevar a temperatura de m=2{,}0,g de uma substância de T_1=5{,}0\,^\circ\mathrm{C} até T_2=15{,}^\circ\mathrm{C}, sabendo que o calor específico varia com a temperatura segundo
c(T)=0,30+0,17\,T+0,025\,T^2
( c em cal/ g\cdot K e T em °C). O conteúdo é calorimetria com calor específico variável: precisamos usar
Q = m \int_{T_1}^{T_2} c(T)\,\mathrm{d}T.

Passo 2

Escrevemos a energia como
Q = m \int_{5}^{15} \bigl(0,30 + 0,17\,T + 0,025\,T^2\bigr)\,\mathrm{d}T.

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de c(T):
\int \bigl(0,30 + 0,17\,T + 0,025\,T^2\bigr)\,\mathrm{d}T = 0,30\,T + 0,17\frac{T^2}{2} + 0,025\frac{T^3}{3}.
Simplificando os coeficientes,
F(T)=0,30\,T + 0,085\,T^2 + 0,00833\,T^3.

Passo 4

Avaliamo F(T) entre 5 e 15:
Para T=15:
F(15)=0,30\cdot15 + 0,085\cdot15^2 + 0,00833\cdot15^3 =4,5 + 19,125 + 28,125 =51,75.
Para T=5:
F(5)=0,30\cdot5 + 0,085\cdot5^2 + 0,00833\cdot5^3 =1,5 + 2,125 + 1,0417 =4,6667.
Logo, a variação por grama é
\Delta F = F(15) - F(5) = 51,75 - 4,6667 = 47,0833\\ \text{cal/g}.

Passo 5

Multiplicando pela massa m=2{,}0,g, obtemos
Q = m\,\Delta F = 2{,}0 \times 47,0833 = 94,1666\\ \text{cal}.

Resposta

A energia necessária é aproximadamente 94,2 cal.

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