04 Para um gás ideal com n constante, deduza a forma diferencial \mathbf{p} \mathbf{~ d V}+\mathbf{V} \mathbf{d p}=\mathbf{n R} \mathbf{d T} a partir de \mathbf{p V} a partir de \mathbf{p V}=\mathbf{n R T}.

Passo 1

O enunciado dá a lei dos gases ideais com a quantidade de matéria constante e pede para deduzir uma relação diferencial. Informações e pedido, extraídas do enunciado:
  • A relação dada é pV = nRT.
  • A constante n (número de mols) é constante durante o processo.
  • R é a constante universal dos gases (constante).
  • O que se pede: deduzir a forma diferencial
p\,dV + V\,dp = nR\,dT.

Passo 2

Explicando o que são as letras (para não nos enrolarmos):
  • p é a pressão (variável).
  • V é o volume (variável).
  • T é a temperatura absoluta (variável).
  • n é o número de mols (constante nesse enunciado).
  • R é a constante universal dos gases (constante).
    Observação importante: como p, V e T podem variar, podemos falar em diferenciais dp, dV, dT. A ideia é obter uma relação entre essas pequenas variações.

Passo 3

Conceito útil: diferencial total de uma função de duas variáveis.
Se f(x,y) é diferenciável, o diferencial total df é dado por
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Isto significa que as pequenas variações de f devidas a pequenas variações de x e y são, em primeira ordem, a soma dessas parcelas lineares. Exemplo simples: para f(x,y)=xy tem-se \partial f/\partial x = y e \partial f/\partial y = x, logo
d(xy) = y\,dx + x\,dy.
Esse resultado é o que se chama regra do produto em termos de diferenciais.

Passo 4

Aplicando essa ideia na função f(p,V)=pV. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial p}(pV)=V, \qquad \frac{\partial}{\partial V}(pV)=p.
Pelo fórmular do diferencial total,
d(pV) = V\,dp + p\,dV.
Isto é a forma diferencial do produto pV.

Passo 5

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade dada pV = nRT. Como n e R são constantes, o lado direito diferencia-se assim:
d(nRT) = nR\,dT.
No lado esquerdo usamos o resultado do Passo 4:
d(pV) = V\,dp + p\,dV.

Passo 6

Igualando os diferenciais dos dois lados obtemos a relação desejada:
V\,dp + p\,dV = nR\,dT.
Essa é exatamente a forma diferencial que relaciona pequenas variações de pressão, volume e temperatura para um gás ideal com n constante. Interpretação rápida: uma pequena mudança no produto pV (esquerda) corresponde à pequena mudança em nRT que é nR\,dT (direita).

Resposta

p\,dV + V\,dp = nR\,dT

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