04 Para um gás ideal com n constante, deduza a forma diferencial
a partir de
a partir de
.
Passo 1
O enunciado dá a lei dos gases ideais com a quantidade de matéria constante e pede para deduzir uma relação diferencial. Informações e pedido, extraídas do enunciado:
- A relação dada é
. - A constante
(número de mols) é constante durante o processo. -
é a constante universal dos gases (constante). - O que se pede: deduzir a forma diferencial
Passo 2
Explicando o que são as letras (para não nos enrolarmos):
-
é a pressão (variável). -
é o volume (variável). -
é a temperatura absoluta (variável). -
é o número de mols (constante nesse enunciado). -
é a constante universal dos gases (constante).
Observação importante: como, e podem variar, podemos falar em diferenciais , , . A ideia é obter uma relação entre essas pequenas variações.
Passo 3
Conceito útil: diferencial total de uma função de duas variáveis.
Se é diferenciável, o diferencial total
é dado por
Se
Isto significa que as pequenas variações de
devidas a pequenas variações de
e
são, em primeira ordem, a soma dessas parcelas lineares. Exemplo simples: para
tem-se
e
, logo
Esse resultado é o que se chama regra do produto em termos de diferenciais.
Passo 4
Aplicando essa ideia na função
. Calculamos as derivadas parciais:
Pelo fórmular do diferencial total,
Isto é a forma diferencial do produto
.
Passo 5
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade dada
. Como
e
são constantes, o lado direito diferencia-se assim:
No lado esquerdo usamos o resultado do Passo 4:
Passo 6
Igualando os diferenciais dos dois lados obtemos a relação desejada:
Essa é exatamente a forma diferencial que relaciona pequenas variações de pressão, volume e temperatura para um gás ideal com
constante. Interpretação rápida: uma pequena mudança no produto
(esquerda) corresponde à pequena mudança em
que é
(direita).