02 Um sistema homogêneo tem massa m, volume \mathbf{V} e temperatura \mathbf{T}. Após ser triplicado, quais grandezas mudam e como?

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo com massa \,m, volume \,V e temperatura \,T. Diz que o sistema é “triplicado” e pergunta quais grandezas mudam e de que forma.
Informações relevantes claras:
  • Sistema inicial: massa \,m, volume \,V, temperatura \,T.
  • Operação: “triplicar” o sistema (interpretação a ser usada: formar um sistema que seja a união de três cópias idênticas do sistema inicial, todas em equilíbrio entre si).
  • Pergunta: quais grandezas mudam e como (isto é, quais aumentam, diminuem ou permanecem iguais, e por qual fator).

Passo 2

O conceito chave: distinguir grandezas extensivas, intensivas e específicas, e saber como elas escalam quando se junta cópias idênticas do sistema.
  • Definição e ideia:
    • Grandezas extensivas são aquelas que dependem do tamanho do sistema: quando se junta dois sistemas idênticos em equilíbrio, a grandeza extensiva soma-se. Exemplos típicos: massa \,m, volume \,V, energia interna \,U, entropia \,S, número de mols \,n.
    • Grandezas intensivas são independentes do tamanho do sistema: ao juntar cópias idênticas em equilíbrio, a grandeza intensiva permanece igual. Exemplos típicos: temperatura \,T, pressão \,p, densidade (quando definida como razão de duas extensivas que escalam igual), potencial químico \,\mu.
    • Grandezas específicas (ou por unidade de massa) são razões de extensivas por massa (ou por mol); por construção elas permanecem iguais quando se escala o sistema (por exemplo, volume específico v=V/m, energia específica u=U/m).
  • Regra prática de escala (para união de cópias idênticas):
    • Se formar k cópias idênticas e uni-las sem trocar condições, toda grandeza extensiva multiplica por k: \,X' = k X para X extensiva.
    • Toda grandeza intensiva fica igual: \,Y' = Y para Y intensiva.
    • Grandezas específicas (por unidade de massa ou por mol) também ficam iguais.
  • Observação sobre pressuposto: essa regra vale quando a operação é simplesmente juntar cópias em equilíbrio, sem alterar energia por aquecimento, compressão ou reações químicas. Se a forma de “triplicar” envolver processos que troquem energia de forma diferente, algumas intensivas podem mudar. Aqui usamos a interpretação usual: três cópias idênticas, todas com mesmo \,T e mesmo \,p, reunidas.

Passo 3

Aplicando a regra ao enunciado (triplicar formando 3 cópias idênticas):
  • Massa:
    • \,m é extensiva, então ao triplicar: \,m' = 3m.
  • Volume:
    • \,V é extensivo, então: \,V' = 3V.
  • Temperatura:
    • \,T é intensiva (presume-se que as cópias estão à mesma temperatura e permanecem em equilíbrio térmico), então: \,T' = T.
  • Densidade e volume específico:
    • Densidade \rho = \dfrac{m}{V}. Como \,m' = 3m e \,V' = 3V, tem-se \rho' = \frac{m'}{V'} = \frac{3m}{3V} = \frac{m}{V} = \rho,logo a densidade permanece igual.
    • Volume específico v = \dfrac{V}{m} permanece igual por mesma razão.
  • Pressão (exemplo físico, caso o sistema seja um fluido/gás e as cópias estejam em equilíbrio mecânico):
    • Pressão \,p é intensiva, logo \,p' = p. Para ilustrar com o gás ideal: se p = \dfrac{N k_B T}{V} e N (número de partículas) triplica junto com V, então p permanece o mesmo porque tanto o numerador quanto o denominador multiplicam por 3.
  • Energia interna e entalpia:
    • Energia interna \,U é extensiva, então \,U' = 3U.
    • Entalpia \,H e outras funções termodinâmicas extensivas também triplicam: \,H' = 3H, \,S' = 3S (entropia), \,n' = 3n (mols), etc.
  • Grandezas específicas por massa ou por mol:
    • Energia específica u=U/m permanece igual porque tanto U quanto m multiplicam por 3: u'=\frac{U'}{m'}=\frac{3U}{3m}=u.

Passo 4

Exemplo concreto (gás ideal) para fixar a intuição:
  • Para um gás ideal com N partículas, temperatura \,T e volume \,V, p=\frac{N k_B T}{V},\qquad U = c_V N T,onde k_B e c_V são constantes do sistema. Se N\to 3N e V\to 3V mantendo \,T fixo, então p'=\frac{3N k_B T}{3V}=p,\qquad U' = c_V(3N)T = 3U.
Isto confirma a regra geral: pressão (intensiva) permanece, energia interna (extensiva) triplica.

Passo 5

Breve menção a outra possível interpretação (para evitar confusão):
  • Se por “triplicar” tivesse sido entendido como multiplicar uma dimensão linear por 3 (por exemplo, alongar cada aresta de um paralelepípedo por 3), então o volume mudaria por fator 3^3=27. Como o enunciado usa explicitamente "massa m, volume V" e pergunta o que muda ao triplicar o sistema, a interpretação padrão é triplicar a quantidade de matéria (união de três cópias), não expandir linearmente. A resposta anterior assume a união de 3 cópias idênticas.

Resposta

\,m' = 3m
\,V' = 3V
\,T' = T
Grandezas extensivas (por exemplo U,S,H,n) triplicam: X' = 3X.
Grandezas intensivas (por exemplo T,p,\rho) permanecem iguais: Y' = Y.
Grandezas específicas por massa (por exemplo v=V/m,\;u=U/m) permanecem iguais.

Exercícios relacionados