05 Se um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, indique o sinal esperado de dp e justifique com base na equação diferencial.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedido: indicar o sinal esperado de
quando um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, e justificar essa resposta com base numa equação diferencial. - Informação implícita: é um gás ideal e o processo é isotérmico (temperatura constante). Durante a expansão temos aumento do volume, isto é
.
Passo 2
Escrevendo a equação do gás ideal e o que significa isotérmico:
- A equação de estado do gás ideal é
onde
é a pressão,
é o volume,
é a quantidade de matéria (mols),
é a constante dos gases e
é a temperatura.
- Em um processo isotérmico temos
constante, logo o produto é constante igual a .
Passo 3
Aplicando diferenciação (regra do produto) ao lado esquerdo
:
- Como
é constante, sua diferencial é zero:
- Pela regra do produto, a diferencial de
é
Passo 4
Obter a equação diferencial relacionando
e
:
- Igualando a regra do produto a zero:
- Isolando
obtemos
Passo 5
Interpretação do sinal a partir da equação diferencial:
- Em um processo de expansão temos
. - Para um gás em condições normais de interesse,
e . - Portanto o fator
é negativo e multiplicado por dá
Ou seja, a pressão diminui infinitesimalmente durante a expansão isotérmica.
Passo 6
Forma alternativa (opcional) que confirma o mesmo resultado:
- Escrevendo
como função de :
- Diferenciando:
novamente mostra que, para
, tem-se
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição:
- Suponha
(unidades quaisquer). Se passa de para então passa de para . A variação é negativa, consistente com .