05 Se um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, indique o sinal esperado de dp e justifique com base na equação diferencial.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: indicar o sinal esperado de \mathrm{d}p quando um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, e justificar essa resposta com base numa equação diferencial.
  • Informação implícita: é um gás ideal e o processo é isotérmico (temperatura constante). Durante a expansão temos aumento do volume, isto é \mathrm{d}V>0.

Passo 2

Escrevendo a equação do gás ideal e o que significa isotérmico:
  • A equação de estado do gás ideal é
pV = nRT,
onde \,p é a pressão, \,V é o volume, \,n é a quantidade de matéria (mols), \,R é a constante dos gases e \,T é a temperatura.
  • Em um processo isotérmico temos \,T= constante, logo o produto \,pV é constante igual a \,nRT.

Passo 3

Aplicando diferenciação (regra do produto) ao lado esquerdo \,pV:
  • Como \,pV é constante, sua diferencial é zero:
\mathrm{d}(pV)=0.
  • Pela regra do produto, a diferencial de \,pV é
\mathrm{d}(pV)=p\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}p.

Passo 4

Obter a equação diferencial relacionando \mathrm{d}p e \mathrm{d}V:
  • Igualando a regra do produto a zero:
p\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}p = 0.
  • Isolando \mathrm{d}p obtemos
\mathrm{d}p = -\frac{p}{V}\,\mathrm{d}V.

Passo 5

Interpretação do sinal a partir da equação diferencial:
  • Em um processo de expansão temos \mathrm{d}V>0.
  • Para um gás em condições normais de interesse, \,p>0 e \,V>0.
  • Portanto o fator -\dfrac{p}{V} é negativo e multiplicado por \mathrm{d}V>0
\mathrm{d}p < 0.
Ou seja, a pressão diminui infinitesimalmente durante a expansão isotérmica.

Passo 6

Forma alternativa (opcional) que confirma o mesmo resultado:
  • Escrevendo p como função de V:
p(V)=\frac{nRT}{V}.
  • Diferenciando:
\mathrm{d}p = -\frac{nRT}{V^{2}}\,\mathrm{d}V,
novamente mostra que, para \mathrm{d}V>0, tem-se \mathrm{d}p<0.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição:
  • Suponha nRT=2 (unidades quaisquer). Se V passa de 1 para 2 então p passa de 2 para 1. A variação \Delta p = 1-2 = -1 é negativa, consistente com \mathrm{d}p<0.

Resposta

\mathrm{d}p<0

Exercícios relacionados