[04] As idades de Maria, Luiz e Pedro são três números consecutivos. Se a diferença do produto com a soma desses números é 105. Qual é a idade de cada um deles?
Passo 1
O enunciado diz que as idades de Maria, Luiz e Pedro são três números inteiros consecutivos e que a diferença entre o produto dessas idades e a soma delas é 105. Vamos modelar isso com álgebra elementar e resolver um polinômio.
Passo 2
Seja
a idade de Maria. Então Luiz terá
anos e Pedro terá
anos.
O produto das idades é
O produto das idades é
e a soma das idades é
A condição do problema diz que
Passo 3
Primeiro calculamos a soma:
Em seguida expandimos o produto:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Para resolver
usamos o Teorema das Raízes Racionais, testando divisores de
.
Para :
Para
Logo
é raiz. Fatorando, temos
O termo quadrático não tem raízes reais (
), então a única solução real é
.
Passo 5
Como
e as idades são consecutivas, as idades de Maria, Luiz e Pedro são, respectivamente,
Resposta
Maria tem 4 anos, Luiz tem 5 anos e Pedro tem 6 anos.