[04] As idades de Maria, Luiz e Pedro são três números consecutivos. Se a diferença do produto com a soma desses números é 105. Qual é a idade de cada um deles?

Passo 1

O enunciado diz que as idades de Maria, Luiz e Pedro são três números inteiros consecutivos e que a diferença entre o produto dessas idades e a soma delas é 105. Vamos modelar isso com álgebra elementar e resolver um polinômio.

Passo 2

Seja ,x a idade de Maria. Então Luiz terá ,x+1 anos e Pedro terá ,x+2 anos.
O produto das idades é
x,(x+1),(x+2)
e a soma das idades é
x + (x+1) + (x+2)
A condição do problema diz que
x,(x+1),(x+2);-;l[x + (x+1) + (x+2)r];=;105

Passo 3

Primeiro calculamos a soma:
x + (x+1) + (x+2) ;=; 3x + 3
Em seguida expandimos o produto:
x,(x+1),(x+2) = x,(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x
Substituindo na equação original:
x^3 + 3x^2 + 2x ;-;(3x+3) = 105
x^3 + 3x^2 - x - 3 = 105
x^3 + 3x^2 - x - 108 = 0

Passo 4

Para resolver
x^3 + 3x^2 - x - 108 = 0
usamos o Teorema das Raízes Racionais, testando divisores de 108.
Para x=4:
4^3 + 3cdot4^2 - 4 - 108 =64 + 48 - 4 -108 =0
Logo x=4 é raiz. Fatorando, temos
(x-4)(x^2 + 7x + 27)=0
O termo quadrático não tem raízes reais ( De<a =49-108<0), então a única solução real é x=4.

Passo 5

Como x=4 e as idades são consecutivas, as idades de Maria, Luiz e Pedro são, respectivamente,
4,;5,;6

Resposta

Maria tem 4 anos, Luiz tem 5 anos e Pedro tem 6 anos.

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