[05] Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor de cada um dos três números naturais diferentes são, respectivamente; 11, 5 e 7. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três números naturais já citados são, respectivamente; 14, 13 e 8. Determine a soma desses três números naturais.
Passo 1
Vamos chamar os três números naturais de
.
Pelo enunciado, para cada vale:
Pelo enunciado, para cada
- O menor divisor próprio (isto é, excluindo-se 1) é
. - O maior divisor próprio (isto é, excluindo-se o próprio
) é .
No enunciado temos
Sabemos da teoria de divisores que, para todo número composto
, se o menor divisor próprio é
, então o maior divisor próprio é
. Logo
Passo 2
Aplicamos
a cada par
:
-
Para
:
.
Mas os divisores próprios de 154 são
,
cujo menor é. Logo 154 não satisfaz a condição . -
Para
:
.
Os divisores próprios de 65 são,
cujo menor ée maior é . Isso bate com e . -
Para
:
.
Os divisores próprios de 56 são,
cujo menor é. Logo 56 não satisfaz .
Concluímos que, tomando os pares dados na mesma ordem, não há número que satisfaça simultaneamente
e
para
ou
.
Passo 3
Tentamos então verificar se é possível reembaralhar os pares
. Mas, ao testar todas as combinações de
vemos que a única escolha que produz um número cujo menor divisor próprio seja exatamente
é quando
e
é esse mesmo divisor primo, ou seja, gera os semiprimos
Mas aí todas elas têm
, e não conseguimos usar os três valores
distintamente como pede o enunciado.
Conclusão
Não existe maneira de atribuir os três pares
de modo a obter três números distintos que satisfaçam
simultaneamente “menor divisor próprio ” e “maior divisor próprio
” para os valores dados.
simultaneamente “menor divisor próprio
Resposta
Não há solução compatível com as condições impostas.