[05] Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor de cada um dos três números naturais diferentes são, respectivamente; 11, 5 e 7. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três números naturais já citados são, respectivamente; 14, 13 e 8. Determine a soma desses três números naturais.

Passo 1

Vamos chamar os três números naturais de n1,n2,n3.
Pelo enunciado, para cada ni vale:
  • O menor divisor próprio (isto é, excluindo-se 1) é si.
  • O maior divisor próprio (isto é, excluindo-se o próprio ni) é Li.
    No enunciado temos
(s1,s2,s3) = (11,5,7), (L1,L2,L3) = (14,13,8)
Sabemos da teoria de divisores que, para todo número composto n, se o menor divisor próprio é d, então o maior divisor próprio é n/d. Logo
Li = nisi Longrightarrow ni = si,Li

Passo 2

Aplicamos ni = si,Li a cada par (si,Li):
  1. Para i=1:
    n1 = 11 times 14 = 154.
    Mas os divisores próprios de 154 são
    2,7,11,14,22,77,
    cujo menor é 2neq11. Logo 154 não satisfaz a condição s1=11.
  2. Para i=2:
    n2 = 5 times 13 = 65.
    Os divisores próprios de 65 são 5,13,
    cujo menor é 5 e maior é 13. Isso bate com s2=5 e L2=13.
  3. Para i=3:
    n3 = 7 times 8 = 56.
    Os divisores próprios de 56 são 2,4,7,8,14,28,
    cujo menor é 2neq7. Logo 56 não satisfaz s3=7.
Concluímos que, tomando os pares dados na mesma ordem, não há número que satisfaça simultaneamente si e Li para i=1 ou i=3.

Passo 3

Tentamos então verificar se é possível reembaralhar os pares (si,Li). Mas, ao testar todas as combinações de
sin11,5,7, Lin14,13,8,
vemos que a única escolha que produz um número cujo menor divisor próprio seja exatamente s é quando L=13 e s é esse mesmo divisor primo, ou seja, gera os semiprimos
65=5times13, 91=7times13, 143=11times13
Mas aí todas elas têm L=13, e não conseguimos usar os três valores 14,13,8 distintamente como pede o enunciado.

Conclusão

Não existe maneira de atribuir os três pares (si,Li) de modo a obter três números distintos que satisfaçam
simultaneamente “menor divisor próprio si” e “maior divisor próprio Li” para os valores dados.

Resposta

Não há solução compatível com as condições impostas.

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