Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1000 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção de B superará a produção de A a partir de:
a) março
b) maio
c) julho
d) setembro
e) novembro

Passo 1

O enunciado descreve duas produções mensais que aumentam de forma constante a partir de janeiro. Em particular, temos uma progressão aritmética para cada fábrica:
  • Fábrica A começa com 3000 pares e cresce 70 pares a cada mês.
  • Fábrica B começa com 1000 pares e cresce 290 pares a cada mês.
    Queremos saber a partir de que mês a produção de B ultrapassa a de A.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral de cada progressão aritmética. Se chamamos de n o número do mês contado a partir de janeiro ( n=1 em janeiro), então:
An = 3000 + (n-1)cdot 70
Bn = 1000 + (n-1)cdot 290

Passo 3

Para que B supere A, precisamos de
Bn > An
ou seja,
1000 + 290,(n-1) ;>; 3000 + 70,(n-1)

Passo 4

Resolver a desigualdade:
1000 + 290n - 290 > 3000 + 70n - 70
290n - 70n > 3000 - 1000 + 290 - 70
220n > 2220
n > 2220220 = 10,09ldots
Portanto o menor n inteiro que satisfaz é n=11.

Passo 5

O mês correspondente a n=11 (contando janeiro como n=1) é novembro.

Resposta

e) novembro

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