Dada a função
a seguir, verifique se existe e caso exista, calcule o:
. Sugestão: Use coordenadas polares nos itens b e c.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se existe e, caso exista, calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve
, então está definida apenas quando . Em particular não está definida em , mas podemos estudar o limite quando se aproxima de . - O ponto de interesse é
. - O objetivo é decidir se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática): em limites em
que dependem de
é muito conveniente passar para coordenadas polares porque
se torna uma única variável radial
. Nas coordenadas polares definimos
onde
e
. Então
A ideia é: se ao reescrever
em termos de
e
a expressão depender apenas de
(não de
), então o limite quando
reduz-se ao limite unidimensional quando
. Isso também mostra que o valor do limite (se existir) será independente da direção
, o que garante existência do limite no sentido de múltiplas trajetórias.
Passo 3
Substituindo
na função obtemos, para
,
Note que a expressão não depende de
: é uma função apenas de
. Podemos simplificar usando a propriedade do logaritmo:
valendo isso para
. Assim
Logo o limite pedido é equivalente ao limite unidimensional
Passo 4
Agora precisamos calcular
Como a constante
não altera o limite, basta estudar
Troque de variável para simplificar a demonstração: faça
. Quando
tem-se
. Então
Portanto estudar
equivale a estudar
(apenas com um fator constante). Assim consideramos o limite unidimensional
Passo 5
Cálculo do limite unidimensional usando L’Hôpital (a técnica): escrever
Quando
temos
e
, logo a forma é
e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Aplicando L’Hôpital:
Portanto
Voltando às variáveis anteriores, isso implica
e finalmente
Passo 6
Conclusão lógica sobre existência do limite em
: como na forma polar
a expressão depende apenas de
e o limite unidimensional quando
é
, o valor do limite é independente de
. Portanto o limite bidimensional existe e vale
.
Observação intuitiva curta (para memorização): o termo
tende a
quando
, mas
tende a
muito mais rápido do que
diverge negativamente, de modo que o produto tende a
.
Resposta
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