Dada a função f(x, y) a seguir, verifique se existe e caso exista, calcule o: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y). Sugestão: Use coordenadas polares nos itens b e c.
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)
e pede para verificar se existe e, caso exista, calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve \ln, então f está definida apenas quando x^{2}+y^{2}>0. Em particular f não está definida em (0,0), mas podemos estudar o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • O objetivo é decidir se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.

Passo 2

Motivação para usar coordenadas polares (explicação didática): em limites em \mathbb{R}^2 que dependem de x^{2}+y^{2} é muito conveniente passar para coordenadas polares porque x^{2}+y^{2} se torna uma única variável radial r. Nas coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
A ideia é: se ao reescrever f em termos de r e \theta a expressão depender apenas de r (não de \theta), então o limite quando (x,y)\to(0,0) reduz-se ao limite unidimensional quando r\to 0^{+}. Isso também mostra que o valor do limite (se existir) será independente da direção \theta, o que garante existência do limite no sentido de múltiplas trajetórias.

Passo 3

Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} na função obtemos, para r>0,
f(r,\theta)=r^{2}\ln\bigl(r^{2}\bigr).
Note que a expressão não depende de \theta: é uma função apenas de r. Podemos simplificar usando a propriedade do logaritmo:
\ln\bigl(r^{2}\bigr)=2\ln r,
valendo isso para r>0. Assim
f(r,\theta)=r^{2}\cdot 2\ln r = 2r^{2}\ln r.
Logo o limite pedido é equivalente ao limite unidimensional
\lim_{r\to 0^{+}} 2r^{2}\ln r.

Passo 4

Agora precisamos calcular
\lim_{r\to 0^{+}} 2r^{2}\ln r.
Como a constante 2 não altera o limite, basta estudar
\lim_{r\to 0^{+}} r^{2}\ln r.
Troque de variável para simplificar a demonstração: faça u=r^{2}. Quando r\to 0^{+} tem-se u\to 0^{+}. Então
r^{2}\ln r = u\cdot \frac{1}{2}\ln u = \frac{1}{2}\,u\ln u.
Portanto estudar \lim_{r\to 0^{+}} r^{2}\ln r equivale a estudar \lim_{u\to 0^{+}} u\ln u (apenas com um fator constante). Assim consideramos o limite unidimensional
\lim_{u\to 0^{+}} u\ln u.

Passo 5

Cálculo do limite unidimensional usando L’Hôpital (a técnica): escrever
u\ln u=\frac{\ln u}{1/u}.
Quando u\to 0^{+} temos \ln u\to -\infty e 1/u\to +\infty, logo a forma é -\infty / +\infty e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a u:
  • derivada de \ln u é 1/u;
  • derivada de 1/u é -1/u^{2}.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\ln u}{1/u}=\lim_{u\to 0^{+}}\frac{1/u}{-1/u^{2}}=\lim_{u\to 0^{+}}(-u)=0.
Portanto
\lim_{u\to 0^{+}} u\ln u = 0.
Voltando às variáveis anteriores, isso implica
\lim_{r\to 0^{+}} r^{2}\ln r = 0,
e finalmente
\lim_{r\to 0^{+}} 2r^{2}\ln r = 2\cdot 0 = 0.

Passo 6

Conclusão lógica sobre existência do limite em (x,y): como na forma polar f(r,\theta)=2r^{2}\ln r a expressão depende apenas de r e o limite unidimensional quando r\to 0^{+} é 0, o valor do limite é independente de \theta. Portanto o limite bidimensional existe e vale 0.
Observação intuitiva curta (para memorização): o termo \ln r tende a -\infty quando r\to 0^{+}, mas r^{2} tende a 0 muito mais rápido do que \ln r diverge negativamente, de modo que o produto tende a 0.

Resposta

0

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