04 OBF 2002 Um estudante de ensino médio está num carro que percorre um retão de uma rodovia a uma velocidade de
. Num determinado instante, começam a cair, verticalmente, uns pingos de chuva. O estudante observa pela janela do carro e constata que, para ele, os pingos estão caindo fazendo um ângulo de
em relação à vertical. Qual a velocidade com que os pingos caem em relação a uma pessoa que esteja parada na beira da rodovia?
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O carro se move num plano horizontal (reta) com velocidade
em relação ao solo. - Os pingos de chuva, em relação ao solo, caem verticalmente (ou seja, sua velocidade está na direção vertical).
- Para o estudante dentro do carro, os pingos parecem cair formando um ângulo de
em relação à vertical.
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade com que os pingos caem em relação a uma pessoa parada na beira da rodovia (ou seja, a velocidade dos pingos no referencial do solo).
Passo 2
Qual método vamos usar?
- Aqui o jeito mais direto é usar velocidade relativa entre referenciais (velocidade do pingo vista do carro = velocidade do pingo no solo menos velocidade do carro). Esse é um conceito básico: se um objeto tem velocidade
no solo e o carro tem velocidade , então a velocidade do objeto vista pelo carro é
Vou aplicar isso compondo vetores horizontal e vertical. Esse método é simples e rápido para a prova.
Passo 3
Escolha de eixos e escrita das velocidades conhecidas:
- Tomo o eixo
horizontal no sentido do movimento do carro e o eixo vertical para cima. - A velocidade do carro em relação ao solo é
onde
é a componente em
e
em
.
- Como os pingos caem verticalmente em relação ao solo, sua velocidade no solo tem só componente vertical para baixo. Chamo de
a rapidez com que caem (valor positivo) e escrevo
Passo 4
Velocidade dos pingos medida pelo estudante no carro (relativa ao carro):
- Pela fórmula de velocidade relativa,
- Isso significa que, no referencial do carro, o pingo tem componente horizontal
(isto é, parece vir de trás para frente do carro) e componente vertical (para baixo).
Passo 5
Usar o ângulo observado
para relacionar componentes:
- O enunciado diz que, para o estudante, o pingo forma ângulo de
com a vertical. Geometricamente, isso significa que as magnitudes das componentes horizontal e vertical da velocidade relativa são iguais (porque ). - Logo,
- Daí obtemos
Passo 6
Interpretação final e resposta:
-
é a rapidez dos pingos em relação ao solo (a componente vertical em módulo). Portanto, os pingos caem com velocidade de em relação a uma pessoa parada na beira da rodovia. A direção é vertical para baixo.