04 OBF 2002 Um estudante de ensino médio está num carro que percorre um retão de uma rodovia a uma velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Num determinado instante, começam a cair, verticalmente, uns pingos de chuva. O estudante observa pela janela do carro e constata que, para ele, os pingos estão caindo fazendo um ângulo de 45^{\circ} em relação à vertical. Qual a velocidade com que os pingos caem em relação a uma pessoa que esteja parada na beira da rodovia?
(a) 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O carro se move num plano horizontal (reta) com velocidade 40\\ \mathrm{m/s} em relação ao solo.
  • Os pingos de chuva, em relação ao solo, caem verticalmente (ou seja, sua velocidade está na direção vertical).
  • Para o estudante dentro do carro, os pingos parecem cair formando um ângulo de 45^\circ em relação à vertical.
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade com que os pingos caem em relação a uma pessoa parada na beira da rodovia (ou seja, a velocidade dos pingos no referencial do solo).

Passo 2

Qual método vamos usar?
  • Aqui o jeito mais direto é usar velocidade relativa entre referenciais (velocidade do pingo vista do carro = velocidade do pingo no solo menos velocidade do carro). Esse é um conceito básico: se um objeto tem velocidade \vec{v}_{\text{obj/solo}} no solo e o carro tem velocidade \vec{v}_{\text{carro/solo}}, então a velocidade do objeto vista pelo carro é
\vec{v}_{\text{obj/car}}=\vec{v}_{\text{obj/solo}}-\vec{v}_{\text{carro/solo}}.
Vou aplicar isso compondo vetores horizontal e vertical. Esse método é simples e rápido para a prova.

Passo 3

Escolha de eixos e escrita das velocidades conhecidas:
  • Tomo o eixo x horizontal no sentido do movimento do carro e o eixo y vertical para cima.
  • A velocidade do carro em relação ao solo é
\vec{v}_{\text{carro/solo}}=\bigl(40,\;0\bigr)\\ \text{m/s},
onde 40 é a componente em x e 0 em y.
  • Como os pingos caem verticalmente em relação ao solo, sua velocidade no solo tem só componente vertical para baixo. Chamo de V a rapidez com que caem (valor positivo) e escrevo
\vec{v}_{\text{pingo/solo}}=\bigl(0,\;-V\bigr)\\ \text{m/s}.

Passo 4

Velocidade dos pingos medida pelo estudante no carro (relativa ao carro):
  • Pela fórmula de velocidade relativa,
\vec{v}_{\text{pingo/car}}=\vec{v}_{\text{pingo/solo}}-\vec{v}_{\text{carro/solo}}=\bigl(0,\;-V\bigr)-\bigl(40,\;0\bigr)=\bigl(-40,\;-V\bigr)\\ \text{m/s}.
  • Isso significa que, no referencial do carro, o pingo tem componente horizontal -40\\ \mathrm{m/s} (isto é, parece vir de trás para frente do carro) e componente vertical -V\\ \mathrm{m/s} (para baixo).

Passo 5

Usar o ângulo observado 45^\circ para relacionar componentes:
  • O enunciado diz que, para o estudante, o pingo forma ângulo de 45^\circ com a vertical. Geometricamente, isso significa que as magnitudes das componentes horizontal e vertical da velocidade relativa são iguais (porque \tan 45^\circ=1).
  • Logo,
\frac{|\text{componente horizontal}|}{|\text{componente vertical}|}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{40}{V}=1.
  • Daí obtemos
V=40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação final e resposta:
  • V é a rapidez dos pingos em relação ao solo (a componente vertical em módulo). Portanto, os pingos caem com velocidade de 40\\ \mathrm{m/s} em relação a uma pessoa parada na beira da rodovia. A direção é vertical para baixo.

Resposta

\,40\\ \mathrm{m/s}\,\text{(para baixo)}

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