12 SOIF 2009 Uma criança precisa de um barco para atravessar o rio. A velocidade da correnteza do rio é k>1 vezes maior que a velocidade do barco na água parada. Se uma criança que atravessa o rio de forma a minimizar o deslocamento lateral leva tempo t para tanto, qual é o tempo mínimo necessário para atravessar o rio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: a velocidade do barco em água parada é v (não é dada numericamente; vamos usar essa variável).
  • Dado: a velocidade da correnteza do rio é k>1 vezes maior que v. Ou seja, a velocidade da correnteza é u = k v.
  • Dado implícito: a largura do rio (distância a ser atravessada, perpendicular à margem) é w. O enunciado não dá w explicitamente, mas precisaremos introduzi‑la para escrever tempos; depois eliminaremos w usando a informação sobre o tempo t.
  • Informação: uma criança atravessa o rio escolhendo a direção que minimiza o deslocamento lateral (a deriva ao longo da corrente). Essa travessia, com essa escolha de direção, leva tempo t.
  • Pedido: qual é o tempo mínimo possível para atravessar o rio? (Ou seja, entre todas as estratégias de direção de navegação, qual o menor tempo para ir de uma margem à outra.)
Resumo do objetivo prático: usando a hipótese de que ao minimizar a deriva o tempo foi t, expressar o menor tempo possível de atravessar (que ocorre quando a componente de velocidade transversal é máxima) em função de t e k.

Passo 2

Definir variáveis e modelar velocidades (velocidade relativa e resultante), com explicações bem didáticas.
  • Seja v a velocidade do barco relativa à água (valor dado indiretamente).
  • Seja u a velocidade da correnteza e, pelo enunciado,
u = k v.
  • Seja w a largura do rio (distância perpendicular entre as margens).
  • Escolhemos um sistema de eixos: o eixo x aponta da margem de partida para a margem oposta (perpendicular às margens, ou seja, a direção que queremos atravessar), e o eixo y aponta ao longo da correnteza (sentido downstream). Assim, atravessar o rio significa deslocar w na direção x.
  • Se o barco aponta numa direção que faz um ângulo \alpha medido a partir do eixo x (ou seja, \alpha=0 significa o barco apontado diretamente para a margem oposta; \alpha>0 aponta um pouco a favor do sentido do fluxo, \alpha<0 aponta um pouco contra o fluxo), então a velocidade do barco em relação à água tem componentes:
\text{(velocidade relativa à água)}\quad (v\cos\alpha,\; v\sin\alpha).àá
  • A velocidade do barco em relação ao solo (velocidade resultante) é soma vetorial da velocidade relativa à água com a velocidade da correnteza (0,u), portanto
\text{(velocidade sobre o solo)}\quad (v\cos\alpha,\; v\sin\alpha + u).
  • A componente que atravessa o rio é a componente x: v\cos\alpha. Enquanto a componente y sobre o solo é v\sin\alpha + u e determina a deriva ao longo da margem.

Passo 3

Expressar o tempo de travessia e o deslocamento lateral em função de \alpha; explicar as fórmulas.
  • O tempo necessário para atravessar a largura w é o tempo para percorrer w com velocidade transversal v\cos\alpha. Assim:
\text{tempo}(\alpha)=\frac{w}{v\cos\alpha}.
Explicação: velocidade média na direção x é v\cos\alpha, distância é w, logo tempo = distância/velocidade.
  • O deslocamento lateral (deriva downstream) durante a travessia é a componente y da velocidade sobre o solo multiplicada pelo tempo:
\Delta y(\alpha) = \bigl(v\sin\alpha + u\bigr)\cdot \frac{w}{v\cos\alpha}.
  • Substituindo u=k v na expressão do deslocamento:
\Delta y(\alpha) = \frac{w}{v\cos\alpha}\bigl(v\sin\alpha + k v\bigr) = w\;\frac{\sin\alpha + k}{\cos\alpha}.
Explicação: note que \Delta y(\alpha) é proporcional a w; o fator que multiplica w depende só de \alpha e k.

Passo 4

Determinar o ângulo \alpha que minimiza o deslocamento lateral; mostrar passo a passo a otimização.
Queremos minimizar \Delta y(\alpha) em \alpha. Como w>0, isso equivale a minimizar a função
f(\alpha)=\frac{\sin\alpha + k}{\cos\alpha}=\tan\alpha + k\operatorname{sec}\alpha.
Explicando: substituir \sin/\cos=\tan e 1/\cos=\operatorname{sec} facilita derivar.
Derivada de f em relação a \alpha:
f'(\alpha)=\operatorname{sec}^2\alpha + k\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha.
Explicação: \dfrac{d}{d\alpha}\tan\alpha=\operatorname{sec}^2\alpha e \dfrac{d}{d\alpha}\operatorname{sec}\alpha=\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha.
Para um mínimo crítico, impondo f'(\alpha)=0:
\operatorname{sec}^2\alpha + k\operatorname{sec}\alpha\tan\alpha=0.
Fatorando \operatorname{sec}\alpha (que não é zero no nosso domínio relevante):
\operatorname{sec}\alpha\bigl(\operatorname{sec}\alpha + k\tan\alpha\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}\alpha + k\tan\alpha=0.
Escrevendo em seno e cosseno:
\frac{1}{\cos\alpha} + k\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=0 \quad\Rightarrow\quad 1 + k\sin\alpha = 0.
Portanto o ângulo que dá o mínimo satisfaz
\sin\alpha = -\frac{1}{k}.
Observações e verificação: como k>1, \sin\alpha é atingível e \sin\alpha\in(-1,1); a solução tem \sin\alpha<0 (ou seja, apontar contra a corrente, como esperado). Esse ponto crítico corresponde a mínimo porque ao avaliar a segunda derivada ou analisar comportamento em limites dá mínimo (uma explicação informal: para \alpha\to\pm\frac{\pi}{2} a função explode, e há só um ponto crítico).
Do valor de \sin\alpha obtemos \cos\alpha (tomando a raiz positiva porque \cos\alpha>0 para ângulos pequenos em torno de 0, que é o caso da travessia prática):
\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1-\frac{1}{k^2}} = \frac{\sqrt{k^2-1}}{k}.

Passo 5

Relacionar o tempo t (tempo observado quando a criança minimizou a deriva) com w, v e k; em seguida obter o tempo mínimo absoluto.
Pelo enunciado, quando a criança escolhe o ângulo que minimiza a deriva, o tempo dessa travessia é t. Usando a fórmula do tempo:
t=\frac{w}{v\cos\alpha_{\min}}.
Substituindo \cos\alpha_{\min} = \dfrac{\sqrt{k^2-1}}{k}:
t=\frac{w}{v}\cdot\frac{k}{\sqrt{k^2-1}}.
Desse resultado, podemos isolar \dfrac{w}{v}, que é exatamente o tempo que se leva se o barco apontar perpendicularmente (ou seja, se maximizar a componente transversal v\cos\alpha escolhendo \alpha=0). O menor tempo possível para atravessar (entre todas as estratégias) é obtido quando se maximiza a componente transversal, o que ocorre para \alpha=0. Assim o tempo mínimo absoluto é
t_{\min}=\frac{w}{v}.
Agora expressamos t_{\min} em função de t e k. Da expressão anterior:
\frac{w}{v}=t\cdot\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}.
Logo
\boxed{\,t_{\min}=t\cdot\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}\,}.
Interpretação rápida: como 0<\dfrac{\sqrt{k^2-1}}{k}<1 quando k>1, o tempo mínimo é menor do que t, como faz sentido — ao priorizar tempo (apontando direto para a outra margem) a criança atravessa mais rápido, mas com maior deriva.

Resposta

\displaystyle t_{\min}=t\;\frac{\sqrt{k^{2}-1}}{k}

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