12 SOIF 2009 Uma criança precisa de um barco para atravessar o rio. A velocidade da correnteza do rio é
vezes maior que a velocidade do barco na água parada. Se uma criança que atravessa o rio de forma a minimizar o deslocamento lateral leva tempo
para tanto, qual é o tempo mínimo necessário para atravessar o rio?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dado: a velocidade do barco em água parada é
(não é dada numericamente; vamos usar essa variável). - Dado: a velocidade da correnteza do rio é
vezes maior que . Ou seja, a velocidade da correnteza é . - Dado implícito: a largura do rio (distância a ser atravessada, perpendicular à margem) é
. O enunciado não dá explicitamente, mas precisaremos introduzi‑la para escrever tempos; depois eliminaremos usando a informação sobre o tempo . - Informação: uma criança atravessa o rio escolhendo a direção que minimiza o deslocamento lateral (a deriva ao longo da corrente). Essa travessia, com essa escolha de direção, leva tempo
. - Pedido: qual é o tempo mínimo possível para atravessar o rio? (Ou seja, entre todas as estratégias de direção de navegação, qual o menor tempo para ir de uma margem à outra.)
Resumo do objetivo prático: usando a hipótese de que ao minimizar a deriva o tempo foi
, expressar o menor tempo possível de atravessar (que ocorre quando a componente de velocidade transversal é máxima) em função de
e
.
Passo 2
Definir variáveis e modelar velocidades (velocidade relativa e resultante), com explicações bem didáticas.
- Seja
a velocidade do barco relativa à água (valor dado indiretamente). - Seja
a velocidade da correnteza e, pelo enunciado,
- Seja
a largura do rio (distância perpendicular entre as margens). - Escolhemos um sistema de eixos: o eixo
aponta da margem de partida para a margem oposta (perpendicular às margens, ou seja, a direção que queremos atravessar), e o eixo aponta ao longo da correnteza (sentido downstream). Assim, atravessar o rio significa deslocar na direção . - Se o barco aponta numa direção que faz um ângulo
medido a partir do eixo (ou seja, significa o barco apontado diretamente para a margem oposta; aponta um pouco a favor do sentido do fluxo, aponta um pouco contra o fluxo), então a velocidade do barco em relação à água tem componentes:
- A velocidade do barco em relação ao solo (velocidade resultante) é soma vetorial da velocidade relativa à água com a velocidade da correnteza
, portanto
- A componente que atravessa o rio é a componente
: . Enquanto a componente sobre o solo é e determina a deriva ao longo da margem.
Passo 3
Expressar o tempo de travessia e o deslocamento lateral em função de
; explicar as fórmulas.
- O tempo necessário para atravessar a largura
é o tempo para percorrer com velocidade transversal . Assim:
Explicação: velocidade média na direção
é
, distância é
, logo tempo = distância/velocidade.
- O deslocamento lateral (deriva downstream) durante a travessia é a componente
da velocidade sobre o solo multiplicada pelo tempo:
- Substituindo
na expressão do deslocamento:
Explicação: note que
é proporcional a
; o fator que multiplica
depende só de
e
.
Passo 4
Determinar o ângulo
que minimiza o deslocamento lateral; mostrar passo a passo a otimização.
Queremos minimizar
em
. Como
, isso equivale a minimizar a função
Explicando: substituir
e
facilita derivar.
Derivada de
em relação a
:
Explicação:
e
.
Para um mínimo crítico, impondo
:
Fatorando
(que não é zero no nosso domínio relevante):
Escrevendo em seno e cosseno:
Portanto o ângulo que dá o mínimo satisfaz
Observações e verificação: como
,
é atingível e
; a solução tem
(ou seja, apontar contra a corrente, como esperado). Esse ponto crítico corresponde a mínimo porque ao avaliar a segunda derivada ou analisar comportamento em limites dá mínimo (uma explicação informal: para
a função explode, e há só um ponto crítico).
Do valor de
obtemos
(tomando a raiz positiva porque
para ângulos pequenos em torno de
, que é o caso da travessia prática):
Passo 5
Relacionar o tempo
(tempo observado quando a criança minimizou a deriva) com
,
e
; em seguida obter o tempo mínimo absoluto.
Pelo enunciado, quando a criança escolhe o ângulo que minimiza a deriva, o tempo dessa travessia é
. Usando a fórmula do tempo:
Substituindo
:
Desse resultado, podemos isolar
, que é exatamente o tempo que se leva se o barco apontar perpendicularmente (ou seja, se maximizar a componente transversal
escolhendo
). O menor tempo possível para atravessar (entre todas as estratégias) é obtido quando se maximiza a componente transversal, o que ocorre para
. Assim o tempo mínimo absoluto é
Agora expressamos
em função de
e
. Da expressão anterior:
Logo
Interpretação rápida: como
quando
, o tempo mínimo é menor do que
, como faz sentido — ao priorizar tempo (apontando direto para a outra margem) a criança atravessa mais rápido, mas com maior deriva.