10 Uma partícula tem movimento circular uniforme de velocidade escalar 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, dando uma volta em 8 s . O módulo da aceleração vetorial média para um intervalo de tempo de 2 s é igual a
(a) \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(b) 5 \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(c) 2 \sqrt{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(d) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(e) 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (copiando os números do enunciado):
Velocidade escalar constante da partícula: v=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Tempo de uma volta (período): T=8\\ \mathrm{s}.
Intervalo de tempo para o qual se pede a aceleração vetorial média: \Delta t=2\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede: calcular o módulo da aceleração vetorial média para o intervalo \Delta t=2\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Entender quanto a direção da velocidade muda em \Delta t. Em movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante e direção que gira com velocidade angular \omega. A fórmula para \omega em função do período é
Ou seja, em 2\\ \mathrm{s} o vetor velocidade gira 90^\circ (\pi/2 rad).
Passo 3
Lembrar o que é aceleração vetorial média: é a variação do vetor velocidade dividida pelo tempo,
\bar{\vec a}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}.
Como queremos o módulo, precisamos do módulo de \Delta\vec v=\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t). Aqui os dois vetores velocidade têm o mesmo módulo v e são separados por um ângulo \Delta\theta. Para duas parcelas vetoriais de mesmo módulo v e ângulo entre elas \Delta\theta, pela lei dos cossenos no triângulo formado por \vec v(t), \vec v(t+\Delta t) e \Delta\vec v,
(Isto também pode ser visto geometrica e intuitivamente: a diferença entre dois vetores iguais girados por \Delta\theta tem magnitude 2v\sin(\Delta\theta/2).)
Passo 4
Aplicar a fórmula encontrada com os números dados. Temos v=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e \Delta\theta=\pi/2, então