10 Uma partícula tem movimento circular uniforme de velocidade escalar 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, dando uma volta em 8 s . O módulo da aceleração vetorial média para um intervalo de tempo de 2 s é igual a
(a) \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(b) 5 \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(c) 2 \sqrt{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(d) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(e) 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (copiando os números do enunciado):
  • Velocidade escalar constante da partícula: v=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Tempo de uma volta (período): T=8\\ \mathrm{s}.
  • Intervalo de tempo para o qual se pede a aceleração vetorial média: \Delta t=2\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede: calcular o módulo da aceleração vetorial média para o intervalo \Delta t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender quanto a direção da velocidade muda em \Delta t. Em movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante e direção que gira com velocidade angular \omega. A fórmula para \omega em função do período é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=8\\ \mathrm{s} temos
\omega=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad/s}.
A variação angular da velocidade no intervalo \Delta t é
\Delta\theta=\omega\,\Delta t.
Com \Delta t=2\\ \mathrm{s},
\Delta\theta=\frac{\pi}{4}\cdot 2=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
Ou seja, em 2\\ \mathrm{s} o vetor velocidade gira 90^\circ ( \pi/2 rad).

Passo 3

Lembrar o que é aceleração vetorial média: é a variação do vetor velocidade dividida pelo tempo,
\bar{\vec a}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}.
Como queremos o módulo, precisamos do módulo de \Delta\vec v=\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t). Aqui os dois vetores velocidade têm o mesmo módulo v e são separados por um ângulo \Delta\theta. Para duas parcelas vetoriais de mesmo módulo v e ângulo entre elas \Delta\theta, pela lei dos cossenos no triângulo formado por \vec v(t), \vec v(t+\Delta t) e \Delta\vec v,
|\Delta\vec v|^2 = v^2 + v^2 - 2v^2\cos\Delta\theta = 2v^2(1-\cos\Delta\theta).
Usando a identidade trigonométrica 1-\cos\Delta\theta = 2\sin^2(\tfrac{\Delta\theta}{2}) obtemos a forma útil
|\Delta\vec v| = 2v\left|\sin\frac{\Delta\theta}{2}\right|.
(Isto também pode ser visto geometrica e intuitivamente: a diferença entre dois vetores iguais girados por \Delta\theta tem magnitude 2v\sin(\Delta\theta/2).)

Passo 4

Aplicar a fórmula encontrada com os números dados. Temos v=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e \Delta\theta=\pi/2, então
|\Delta\vec v| = 2\cdot 10 \cdot \left|\sin\frac{\pi/2}{2}\right| = 20\sin\frac{\pi}{4}.
Sabendo que \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},
|\Delta\vec v| = 20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Agora a magnitude da aceleração vetorial média é
\left|\bar{\vec a}\right|=\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Passo 6

Escolhendo a alternativa do enunciado que corresponde ao valor encontrado: a alternativa (b).

Resposta

(b) 5\sqrt{2}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2

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