05 Questão: Demonstre que
a) [A, B C]=[A, B] C+B[A, C],
b) Use a relação do item a) para calcular [x, partial^2partial x^2] a partir de [x, partialpartial x].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, demonstrar que, para operadores lineares A,B,C, vale a “regra de Leibniz” para comutadores:
[A,BC]=[A,B],C+B,[A,C]
Depois, usar esse resultado para obter
gl[x,partial^2partial x^2gr]
a partir de
gl[x,partialpartial xgr]

Passo 2

Começamos pela definição do comutador:
[A,BC]=A,B,C-B,C,A
Agora inserimos e subtraímos o termo B,A,C:
ABC-BCA &=ABC-BAC +BAC-BCA &=(AB-BA),C +B,(AC-CA) &=[A,B],C+B,[A,C]

Passo 3

Agora calculamos l[x,tfracpartialpartial xr]. Aplique esse comutador a uma função genérica f(x):
(x,partialx,f)(x) = x,f'(x), (partialx,x,f)(x) =ddxl(x,f(x)r) = f(x)+x,f'(x)
Subtraindo,
[x,partialx],f(x) =x,f'(x)-l(f(x)+x,f'(x)r) =-f(x),
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[x,partialx]=-1

Passo 4

Finalmente usamos a fórmula do Passo 2 com B=C=partialx:
l[x,partialx^2r] =[x,partialx],partialx +partialx,[x,partialx] =(-1),partialx+partialx,(-1) =-2,partialx

Resposta

a) [A,BC]=[A,B],C+B,[A,C]
b) l[x,partial^2partial x^2r]=-2,partialpartial x

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