04 Em tempos de economia de energia elétrica, um estudante tem a seguinte ideia para esquentar a água de seu banho. A caixa d’água de sua casa tem forma cúbica, com volume de 1 \mathrm{~m}^{3}, e encontra-se cheia de água. O estudante imagina então soltar do repouso, a partir da superfície da água, esferas de massa 1 kg cada. A energia dissipada devido à viscosidade da água e à colisão das esferas com o fundo da caixa d’água pode, em princípio, elevar a temperatura da água. Suponha que toda a energia dissipada seja transferida para a água na forma de calor e que não haja perdas térmicas nesse processo. Considere ainda as esferas puntiformes e despreze o calor absorvido por elas.
a) Calcule quantas esferas o estudante deverá soltar a fim de elevar em 1^{\circ} \mathrm{C} a temperatura da água.
b) Se o estudante soltar as esferas à taxa de uma esfera por segundo, calcule a ordem de grandeza do número de horas que ele levará nesse processo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Quantas esferas devem ser soltas para elevar em 1^\circ\mathrm{C} a temperatura da água.
b) Se as esferas forem soltas à taxa de uma por segundo, qual a ordem de grandeza (nº de horas) que o estudante levará.
Informações dadas e hipóteses (tudo retirado do enunciado):
  • A caixa d’água tem forma cúbica e volume 1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • A caixa está cheia de água.
  • As esferas são puntiformes, cada uma com massa 1\\ \mathrm{kg}, soltas do repouso na superfície da água e caem até o fundo (toda energia dissipada vira calor da água).
  • Despreza-se o calor absorvido pelas esferas e perdas térmicas.
  • Para a parte (b): taxa de soltura = uma esfera por segundo.
Observação imediata que usamos como dado: de 1\\ \mathrm{m}^{3} de água segue-se que o lado do cubo é 1\\ \mathrm{m}, logo a altura que cada esfera percorre é 1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendimento físico e fórmulas básicas usadas (explicadas devagarinho):
  • Energia fornecida por cada esfera ao cair: a energia potencial gravitacional perdida pela esfera é transformada em calor. A expressão é a conhecida energia potencial:
\Delta E = m g h
onde m é a massa da esfera, g é a aceleração da gravidade e h é a altura de queda. Aqui cada termo significa:
  • m: massa da esfera, em \mathrm{kg}.
  • g: aceleração da gravidade, em \mathrm{m/s^{2}}. Vamos usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • h: altura percorrida (distância entre superfície e fundo), em \mathrm{m}.
  • Energia necessária para aquecer a água: usamos a fórmula do calor sensível (capacidade térmica):
Q = M c \Delta T
onde:
  • Q é a energia (calor) necessária, em \mathrm{J}.
  • M é a massa da água, em \mathrm{kg}.
  • c é o calor específico da água, em \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}. Valor padrão: c=4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
  • \Delta T é a variação de temperatura desejada, aqui \Delta T = 1^\circ\mathrm{C}.
  • Relação entre as duas: se cada esfera doa \Delta E de energia e precisamos de Q, o número de esferas N é
N = \frac{Q}{\Delta E}.
Vou aplicar essas fórmulas com os números do problema.

Passo 3

Determine a massa da água M.
  • A densidade da água é \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O volume da água é V=1\\ \mathrm{m^{3}} (dado).
    Logo
M = \rho V = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 1\\ \mathrm{m^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcule a energia necessária Q para aquecer essa água em 1^\circ\mathrm{C}.
Usando \displaystyle Q = M c \Delta T com M=1000\\ \mathrm{kg}, c=4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} e \Delta T=1^\circ\mathrm{C}:
Q = 1000\\ \mathrm{kg}\times 4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\times 1^\circ\mathrm{C} = 4\,186\,000\\ \mathrm{J}.
Portanto é preciso fornecer 4{,}186\times10^{6}\\ \mathrm{J} à água.

Passo 5

Calcule a energia fornecida por cada esfera ao cair.
  • Massa da esfera: m=1\\ \mathrm{kg} (dado).
  • Altura de queda: h=1\\ \mathrm{m} (lado do cubo, ver Passo 1).
  • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Usando \displaystyle \Delta E = m g h:
\Delta E = 1\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 1\\ \mathrm{m} = 9{,}8\\ \mathrm{J}.
Cada esfera pode, idealmente, doar 9{,}8\\ \mathrm{J} de energia em forma de calor para a água.

Passo 6

Calcule o número de esferas N.
N = \frac{Q}{\Delta E} = \frac{4\,186\,000\\ \mathrm{J}}{9{,}8\\ \mathrm{J}}.
Fazendo a divisão:
N \approx 427\,143\\ \text{esferas} .
(Arredondei para cima porque não se pode soltar uma fração de esfera; o valor calculado direto é aproximadamente 4{,}27\times10^{5}.)

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Se cada esfera dá 9{,}8\\ \mathrm{J}, então 4{,}27\times10^{5} esferas fornecem aproximadamente 4{,}19\times10^{6}\\ \mathrm{J}, compatível com Q. Ordem de grandeza faz sentido: muitas esferas porque cada uma gera pouco calor.

Passo 8

Calcule o tempo necessário se a taxa for uma esfera por segundo.
  • Número de esferas (usando o inteiro mínimo) N=427\,143 esferas.
  • Taxa =1 esfera/s, logo tempo em segundos é t = N\\ \mathrm{s} = 427\,143\\ \mathrm{s}.
    Converter segundos para horas: 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, então
t = \frac{427\,143\\ \mathrm{s}}{3600\\ \mathrm{s/h}} \approx 118{,}65\\ \mathrm{h}.
Em ordem de grandeza, isso é cerca de 1{,}2\times10^{2}\\ \mathrm{h}, ou seja, algumas centenas de horas (pouco menos de 5 dias).

Resposta

a) 427\,143 esferas\n
b) \approx 1,19\times10^{2}\\ \mathrm{h} (ordem de grandeza: 10^{2}\\ \mathrm{h})

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