04 Em tempos de economia de energia elétrica, um estudante tem a seguinte ideia para esquentar a água de seu banho. A caixa d’água de sua casa tem forma cúbica, com volume de
, e encontra-se cheia de água. O estudante imagina então soltar do repouso, a partir da superfície da água, esferas de massa 1 kg cada. A energia dissipada devido à viscosidade da água e à colisão das esferas com o fundo da caixa d’água pode, em princípio, elevar a temperatura da água. Suponha que toda a energia dissipada seja transferida para a água na forma de calor e que não haja perdas térmicas nesse processo. Considere ainda as esferas puntiformes e despreze o calor absorvido por elas.
a) Calcule quantas esferas o estudante deverá soltar a fim de elevar em
a temperatura da água.
b) Se o estudante soltar as esferas à taxa de uma esfera por segundo, calcule a ordem de grandeza do número de horas que ele levará nesse processo.
a) Calcule quantas esferas o estudante deverá soltar a fim de elevar em
b) Se o estudante soltar as esferas à taxa de uma esfera por segundo, calcule a ordem de grandeza do número de horas que ele levará nesse processo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Quantas esferas devem ser soltas para elevar em a temperatura da água.
b) Se as esferas forem soltas à taxa de uma por segundo, qual a ordem de grandeza (nº de horas) que o estudante levará.
a) Quantas esferas devem ser soltas para elevar em
b) Se as esferas forem soltas à taxa de uma por segundo, qual a ordem de grandeza (nº de horas) que o estudante levará.
Informações dadas e hipóteses (tudo retirado do enunciado):
- A caixa d’água tem forma cúbica e volume
. - A caixa está cheia de água.
- As esferas são puntiformes, cada uma com massa
, soltas do repouso na superfície da água e caem até o fundo (toda energia dissipada vira calor da água). - Despreza-se o calor absorvido pelas esferas e perdas térmicas.
- Para a parte (b): taxa de soltura = uma esfera por segundo.
Observação imediata que usamos como dado: de
de água segue-se que o lado do cubo é
, logo a altura que cada esfera percorre é
.
Passo 2
Entendimento físico e fórmulas básicas usadas (explicadas devagarinho):
- Energia fornecida por cada esfera ao cair: a energia potencial gravitacional perdida pela esfera é transformada em calor. A expressão é a conhecida energia potencial:
onde
é a massa da esfera,
é a aceleração da gravidade e
é a altura de queda. Aqui cada termo significa:
-
: massa da esfera, em . -
: aceleração da gravidade, em . Vamos usar . -
: altura percorrida (distância entre superfície e fundo), em . -
Energia necessária para aquecer a água: usamos a fórmula do calor sensível (capacidade térmica):
onde:
-
é a energia (calor) necessária, em . -
é a massa da água, em . -
é o calor específico da água, em . Valor padrão: . -
é a variação de temperatura desejada, aqui . -
Relação entre as duas: se cada esfera doa
de energia e precisamos de , o número de esferas é
Vou aplicar essas fórmulas com os números do problema.
Passo 3
Determine a massa da água
.
- A densidade da água é
. - O volume da água é
(dado).
Logo
Passo 4
Calcule a energia necessária
para aquecer essa água em
.
Usando com
,
e
:
Usando
Portanto é preciso fornecer
à água.
Passo 5
Calcule a energia fornecida por cada esfera ao cair.
- Massa da esfera:
(dado). - Altura de queda:
(lado do cubo, ver Passo 1). -
.
Usando
:
Cada esfera pode, idealmente, doar
de energia em forma de calor para a água.
Passo 6
Calcule o número de esferas
.
Fazendo a divisão:
(Arredondei para cima porque não se pode soltar uma fração de esfera; o valor calculado direto é aproximadamente
.)
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
- Se cada esfera dá
, então esferas fornecem aproximadamente , compatível com . Ordem de grandeza faz sentido: muitas esferas porque cada uma gera pouco calor.
Passo 8
Calcule o tempo necessário se a taxa for uma esfera por segundo.
- Número de esferas (usando o inteiro mínimo)
esferas. - Taxa
esfera/s, logo tempo em segundos é .
Converter segundos para horas:, então
Em ordem de grandeza, isso é cerca de
, ou seja, algumas centenas de horas (pouco menos de 5 dias).
Resposta
a)
esferas\n
b) (ordem de grandeza:
)
b)