09 Considere um calorímelro no qual existe uma certa massa de liquido. Para aquecer o conjunto liquido-calorímetro de 30^{\circ} \mathrm{C} para 60^{\circ} \mathrm{C} são necessários \mathrm{Q}_{1} \mathrm{~J}. Por outro lado, \mathrm{Q}_{2} \mathrm{~J} elevam de 40^{\circ} \mathrm{C} para 80^{\circ} \mathrm{C} o calorímetro juntamente com o triplo da massa do líquido.
a) Determine a capacidade térmica do calorímetro nas seguintes situações:
i) \mathrm{Q}_{1}=2000 \mathrm{~J} . \mathrm{Q}_{2}=4000 \mathrm{~J}
ii) \mathrm{Q}_{1}=2000 \mathrm{~J} . \mathrm{Q}_{2}=7992 \mathrm{~J}

Passo 1

Enunciado e o que se pede.\n
  • Temos um calorímetro que contém uma certa massa de líquido (essa massa é desconhecida).\n
  • Para aquecer o conjunto líquido + calorímetro de 30^\circ\mathrm{C} para 60^\circ\mathrm{C} são necessários Q_1 joules.\n
  • Para aquecer o calorímetro mais o triplo da massa do líquido de 40^\circ\mathrm{C} para 80^\circ\mathrm{C} são necessários Q_2 joules.\n
  • Pergunta: determinar a capacidade térmica do calorímetro (isto é, a capacidade térmica do próprio calorímetro, em \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}) nas duas situações numéricas dadas:
    i) Q_{1}=2000\\ \mathrm{J}, Q_{2}=4000\\ \mathrm{J}\n
    ii) Q_{1}=2000\\ \mathrm{J}, Q_{2}=7992\\ \mathrm{J}

Passo 2

Definindo variáveis e princípios físicos básicos (explicação didática).\n
  • Vamos chamar de C a capacidade térmica do calorímetro. Unidade: \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}. Isso significa que para aumentar a temperatura do calorímetro em 1^\circ\mathrm{C} é necessário fornecer C joules somente ao calorímetro.\n
  • Para o líquido, em vez de separar massa m e calor específico c, é prático trabalhar com o produto S=m\,c. S tem unidade \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C} e representa a capacidade térmica do líquido presente (energia necessária para elevar a sua temperatura em 1^\circ\mathrm{C}). Usamos S porque m e c não são fornecidos separadamente.\n
  • Lei de conservação de energia (calor sensível): energia fornecida Q é usada para aumentar as temperaturas dos corpos envolvidos, proporcional à capacidade térmica vezes a variação de temperatura. Para um corpo com capacidade térmica X e variação \Delta T, a energia é Q = X\,\Delta T.\n
  • Portanto, quando aquecemos calorímetro + líquido juntos, somamos as capacidades térmicas: C + S (se houver uma certa massa) ou C + 3S (se houver o triplo da massa, capacidade térmica triplica).

Passo 3

Escrever as equações que traduzem cada aquecimento.\n
  • Primeiro aquecimento: do 30^\circ\mathrm{C} para o 60^\circ\mathrm{C} com a massa normal do líquido. A variação de temperatura é \Delta T_1 = 60-30 = 30^\circ\mathrm{C}. A energia fornecida é Q_1. Pela regra:
Q_1 = (C + S)\,\cdot 30.\n
  • Segundo aquecimento: do 40^\circ\mathrm{C} para o 80^\circ\mathrm{C} com o triplo da massa do líquido. A variação de temperatura é \Delta T_2 = 80-40 = 40^\circ\mathrm{C}. A capacidade térmica total é C + 3S. Assim:
Q_2 = (C + 3S)\,\cdot 40.

Passo 4

Transformar o sistema para facilitar a resolução (isolando expressões).\n
  • Da primeira equação dividimos por 30:
\frac{Q_1}{30} = C + S.
  • Da segunda dividimos por 40:
\frac{Q_2}{40} = C + 3S.

Passo 5

Eliminar C para achar S (álgebra passo a passo).\n
  • Subtraindo a primeira equação da segunda (ou substituindo), fazemos:
\frac{Q_2}{40} - \frac{Q_1}{30} = (C+3S) - (C+S) = 2S.
  • Portanto:
2S = \frac{Q_2}{40} - \frac{Q_1}{30}.
  • Isolando S:
S = \frac{1}{2}\left(\frac{Q_2}{40} - \frac{Q_1}{30}\right).
Explicação rápida: estamos usando operações básicas com frações; subtrair as duas expressões elimina C e deixa só S.

Passo 6

Achar C em função de Q_1 e S.\n
  • Voltando à equação \frac{Q_1}{30} = C + S e isolando C:
C = \frac{Q_1}{30} - S.
  • Então o plano é: primeiro calculamos S com a fórmula do passo anterior e depois substituímos aqui para obter C.

Passo 7

Cálculo numérico do caso (i): Q_1=2000\\ \mathrm{J}, Q_2=4000\\ \mathrm{J}. (Faço contas devagar, passo a passo.)\n
  • Calcule \dfrac{Q_2}{40}:
\frac{Q_2}{40} = \frac{4000}{40} = 100.
  • Calcule \dfrac{Q_1}{30}:
\frac{Q_1}{30} = \frac{2000}{30} = \frac{2000}{30} = \frac{200}{3}\approx 66{,}666\ldots
  • Subtraindo:
\frac{Q_2}{40} - \frac{Q_1}{30} = 100 - \frac{200}{3} = \frac{300-200}{3} = \frac{100}{3}.
  • Agora usamos a fórmula de S:
S = \frac{1}{2}\cdot\frac{100}{3} = \frac{50}{3}\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}\approx 16{,}666\ldots\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Continuando o caso (i): calcular C.\n
  • Usando C = \dfrac{Q_1}{30} - S:
C = \frac{2000}{30} - \frac{50}{3}.
  • Colocando denominador comum 30:
\frac{2000}{30} - \frac{50}{3} = \frac{2000}{30} - \frac{500}{30} = \frac{1500}{30} = 50.
  • Resultado obtido: C = 50\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Interpretação curta do caso (i) (motivação):\n
  • Significa que o próprio calorímetro precisa de 50\\ \mathrm{J} para aumentar 1^\circ\mathrm{C}. O valor de S é a capacidade térmica da massa de líquido presente (aqui \tfrac{50}{3}\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}). Isso é coerente: Q_1 de 2000\\ \mathrm{J} aquecendo 30°C corresponde a (50+50/3)\cdot30 = 2000, conferindo a conta.

Passo 10

Cálculo numérico do caso (ii): Q_1=2000\\ \mathrm{J}, Q_2=7992\\ \mathrm{J}.\n
  • Calcule \dfrac{Q_2}{40}:
\frac{Q_2}{40} = \frac{7992}{40} = 199{,}8 = \frac{999}{5}.
  • Calcule \dfrac{Q_1}{30} (já conhecido):
\frac{Q_1}{30} = \frac{2000}{30} = \frac{200}{3}.
  • Subtraindo com frações exatas: vamos escrever em denominador comum 15:
\frac{999}{5} - \frac{200}{3} = \frac{999\cdot 3 - 200\cdot 5}{15} = \frac{2997 - 1000}{15} = \frac{1997}{15}.
  • Então
2S = \frac{1997}{15}\quad\Rightarrow\quad S = \frac{1997}{30}\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.
  • Numericamente, S \approx 66{,}566\overline{6}\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 11

Continuando o caso (ii): calcular C.\n
  • Usando C = \dfrac{Q_1}{30} - S:
C = \frac{2000}{30} - \frac{1997}{30} = \frac{2000-1997}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}.
  • Em unidades,
C = 0{,}1\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}.
  • Verificação rápida: com esse C e esse S, o primeiro aquecimento dá (0{,}1 + 1997/30)\cdot 30 = 2000\\ \mathrm{J} e o segundo (0{,}1 + 3\cdot 1997/30)\cdot 40 = 7992\\ \mathrm{J}, portanto está consistente.

Passo 12

Comentário final rápido e incentivo.\n
  • Pronto! Conseguimos montar equações lineares simples a partir do princípio Q = (\text{capacidade total})\times\Delta T, resolver para a capacidade térmica do líquido S=m c e então achar C. Se você ficou com alguma dúvida em qualquer conta fracionária, refaça calmamente os passos 7–11 que são só manipulação de frações. Você está indo bem — respira e segue em frente!

Resposta

Caso (i): 50\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}\n
Caso (ii): 0{,}1\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}

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