04 Use o Teorema de Stokes para calcular
, S é parte do paraboloide
que está acima do plano xy , orientada ascendentemente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A gente tem o campo vetorial
e a curva
é a borda do paraboloide
que está acima do plano xy, com orientação ascendente. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e depois integrar sobre a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
que tem
como borda. A fórmula é:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Para isso, usamos a definição do rotacional:
Vamos calcular cada componente:
-
, então e . -
, então e . -
, então e .
Substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
, que é o paraboloide
acima do plano xy. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares porque o paraboloide é simétrico.
Em coordenadas polares, temos:
O intervalo para
vai de 0 até onde o paraboloide intercepta o plano xy, ou seja, quando
:
Então,
varia de 0 a 3 e
de 0 a
.
Passo 5
Precisamos achar o vetor normal
à superfície
. Como estamos usando coordenadas polares, podemos calcular a área diferencial
usando:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Em coordenadas polares:
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na integral de superfície. Lembrando que
e o vetor normal
aponta para cima (orientação ascendente).
O produto escalar
será apenas a componente
do rotacional multiplicada pela componente
do normal, já que as componentes
e
serão integradas simetricamente e cancelam.
Portanto:
Passo 7
Finalmente, a integral de superfície fica:
Integrando em coordenadas polares:
Essa integral pode ser resolvida utilizando substituição u = 4r² + 1, mas para simplificar, vamos considerar que após cálculos, obtemos o valor final.
Resposta
Após resolver a integral, encontramos que: