Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem:
(a) f(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=x+y é diferenciável na origem. O conteúdo que usamos é a definição de diferenciabilidade em $\mathbf{R}^2$: mostrar que existe um mapa linear L tal que o resto R(h,k)=f(h,k)−f(0,0)−L(h,k) satisfaz R(h,k)/|(h,k)|→0.

Passo 2

Para encontrar L, calculamos as derivadas parciais de f em (0,0). Como f(x,y)=x+y, temos \nablafx(x,y)=1 e \nablafy(x,y)=1. Em particular, \nablafx(0,0)=1 e \nablafy(x,y)=1.
O mapa linear candidato é a aproximação de primeira ordem em (0,0): \nL(h,k)=\nablafx(0,0),h+\nablafy(0,0),k = h + k.

Passo 3

Agora calculamos o resto R(h,k): \nR(h,k)=f(h,k)−f(0,0)−L(h,k) = (h+k)−0−(h+k) = 0.
Como R(h,k)=0, para todo (h,k)≠(0,0) temos \nR(h,k)/|(h,k)| = 0. Isso satisfaz a condição de que o resto é de ordem menor que |(h,k)|.

Passo 4

Portanto, f(x,y)=x+y é diferenciável na origem, com diferencial dado por L(h,k)=h+k.

Resposta

A função é diferenciável na origem; seu diferencial em (0,0) é o mapa L(h,k)=h+k.

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