[04] (1,5) Utilizando a definição da transformada de Laplace, obtenha a transformada F(s) da seguinte função:
f(t)=2 e^2 alpha t+3 e^-beta t+cos (Omega t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=2e^2alpha t+3e^-beta t+cos(Omega t)
vamos usar a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t),e^-st,dt
e a propriedade de linearidade:
La,f(t)+b,g(t)=a,Lf(t)+b,Lg(t).

Passo 2

Calcular L2e^2alpha t.
L2e^2alpha t =integral0^infty2e^2alpha te^-st,dt =2integral0^inftye^-(s-2alpha)t,dt
Como Re(s-2alpha)>0, a integral vale tfrac1s-2alpha, logo
L2e^2alpha t=2s-2alpha

Passo 3

Calcular L3e^-beta t.
L3e^-beta t =integral0^infty3e^-beta te^-st,dt =3integral0^inftye^-(s+beta)t,dt
Para Re(s+beta)>0, a integral vale tfrac1s+beta, então
L3e^-beta t=3s+beta

Passo 4

Calcular Lcos(Omega t).
Usando a fórmula conhecida
Lcos(Omega t) =integral0^inftye^-stcos(Omega t),dt =ss^2+Omega^2,
válida para Re(s)>0.

Passo 5

Somando as três parcelas (linearidade):
F(s)=Lf(t)(s) =2s-2alpha+3s+beta+ss^2+Omega^2

Resposta

F(s)=2s-2alpha+3s+beta+ss^2+Omega^2

Exercícios relacionados